高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教a版必修5

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1、第三讲不等式一、核心要点1、不等式的性质(1)不等式的基本性质:(同向不等式可加不可减,可乘不可除)(尽量减少加和乘的次数)A、对称性:;B、传递性:;C、可加性:;D、可乘性:;E、加法法则:;F、乘法法则:;G、乘方法则:;H、开方法则:.(2)比较两数或两式的大小方法:(作差法步骤:作差—变形——定号)A、作差法:对于任意,①;②;③;B、作商法:设,则①;②;③.备注1:不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2:对于比较大小时,要考虑各种可能情况,对不确定的因素进行分类讨论;备注3:平方差

2、公式:;平方和公式:.2、不等式的解法;(1)一元二次不等式及的解法:(转化为)A、若方程的且两实根分别为,则不等式的解集为,不等式的解集为;B、若方程的且两相等实根分别为,则不等式的解集为,不等式的解集为;C、若方程的,则不等式的解集为,不等式的解集为.(2)分式不等式的解法:化分式不等式为整式不等式进行求解(具体见模块);(3)高次不等式的解法:序轴标根法(过程见模块);(4)无理不等式的解法:平方法化无理不等式为有理不等式(具体见模块);(5)绝对值不等式的解法:分类讨论或平方法(具体见模块).3、基本不等式:如果,

3、则(当且仅当时取“”)(一正二定三相等).(1)特例:,;(同号).(2)变形:①;②;③;(3)扩展:.(备注:调和几何算术平方).1、均值定理:已知.(1)如果(定值),则(当且仅当时取“”)“和定积最大”.(2)如果(定值),则(当且仅当时取“”)“积定和最小”.2、判断二元一次不等式(组)表示平面区域的方法—“选点法”:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.3、线性规划中常见代数式的几何意义:(1)表示点与原点之间的距离;(2)表示点与点之间的距离;(3)表示点与原点连线的斜率;(4)表示点与点连线的斜率.二

4、、考点突破考点一:不等式的基本性质:题型一:不等式的性质:例1、如果满足且,那么下列选项中不一定成立的是()A、B、C、D、练1:设,则下列不等式成立的是()A、B、C、D、练2:已知,并且,那么一定成立的是()A、B、C、D、题型二:比较数(式)的大小与比较法证明不等式:例2、若且,试比较与的大小.解:由于又且,所以,所以.练3:若,试比较与的大小.答案:由于,所以且,故,所以.练习4:设且,试比较与的大小.答案:,因为且.若,,所以,故;若,,所以,故.综上所述,.题型三:已知不等式的关系,求目标式的取值范围:例3、(

5、10辽宁理)已知且,则的取值范围是.解析:令,得,解得,即.由,得,所以,故的取值范围是.练习1:已知且,求的取值范围.解析:设,所以,解得.所以.所以,即,所以的取值范围是.练习2:设,且,求的取值范围.解:设,则,即,于是得,得.所以.因为,所以,故.练习3:(10江苏)设为实数,满足,则的最大值是.解:设,化简得,,得,,所以的最大值是.考点二、一元二次不等式及其解法:题型一:一元二次不等式的定义:例1、下列不等式中,一元二次不等式的个数为()①;②;③;④.A、B、C、D、题型二:简单一元二次不等式的求解:例2、求

6、下列一元二次不等式的解集:(1);(2);(3);(4).解:(1)由,得.又方程的两根是或,所以原不等式的解集为.(2),即,又方程的根为.所以的解集为.(3)由,得,而的两个根是或.所以不等式的解集为.(4)原不等式可化为,即,所以不等式的解集为.[题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)根据一元二次方程根的情况画出对应

7、的二次函数的草图.(5)根据图象写出不等式的解集.练1:求下列不等式的解集:(1);(2);(3);(4).答案:(1);(2);(3);(4).练2:设集合,则中有个元素.练3:解下列不等式:(1);(2);(3).答案:(1);(2);(3).题型三:解含参数的一元二次不等式:例3、解关于的不等式.(因式分解—比较两根大小—分类讨论求解)解:原不等式可化为,对应的一元二次方程的根为,(1)当时,,不等式的解集为.(2)当时,原不等式化为,无解.(3)当时,,不等式的解集为.综上所述,原不等式的解集为:时,;时,;时,.

8、[题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数转化为正数;(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根,为了写出解集还要分析根的大小).另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决定不等式是否为二次不等式.练

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