高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 文试题 新人教a版选修1-2

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1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明一、综合法和分析法1．综合法的定义利用________和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的特点从“已知”看“________”，逐步推向“________”，其逐步推理，是由______导______，实际上是寻找“已知”的________条件．3．综合法的基本思路用______表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，______表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为→→→

2、…→其逻辑依据是三段论式演绎推理．4．分析法定义从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.5．分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“______”，执果索因，逐步靠拢“______”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的______条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，

3、最后得到一个明显成立的条件．若用______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为→→→…→【知识点拨】分析法与综合法的区别与联系（1）区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．（2）联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．分析法便于思考，叙述较繁

4、；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．二、反证法1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理（1）反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．（2）用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．【知识

5、点拨】1．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．2．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：（1）直接证明需分多种情况的；（2）结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；（3）关于唯一性、存在性的命题；（4）结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；（5）条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的

6、命题．K知识参考答案一、1．已知条件定义公理定理推理论证2．可知未知因果必要3．PQ4．结论充分5．需知已知充分P二、1.矛盾错误成立K—重点综合法和分析法的思维过程及特点，反证法的特点K—难点综合法和分析法的应用，反证法的应用K—易错忽视隐含条件一、K重点——综合法的应用求证：.【答案】详见解析【解析】因为，所以左边.因为，所以.【名师点睛】综合法的证明步骤如下：（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；（2）转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可

7、以简化解题过程.二、K重点——分析法的应用当时，求证：.【答案】见解析【解析】要证，只需证，即证，即证.因为对一切实数恒成立，所以成立.综上所述，不等式得证.【名师点睛】分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可.三、K重点——反证法的应用设数列是公比为的等比数列，是它的前项和.（1）求证：数列不是等比数列；（2）数列是等差数列吗？为什么？【解析】（1）证法1：（反证法）若是等比数列，则，即.∵，∴，即，这与矛盾，故不是等比数列．证法2：只需证明，∵，∴.（2）当时，是

8、等差数列．当时，不是等差数列，否则有成等差数列．即，∴．由于，∵，∴，与矛盾．综上，当时，数列是等差数列，当时，不是等差数列．【名师点睛】应用反证法的注意事项1．用