课本上的习题(下册)-横线以上的

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1、第十二章数项级数§1级数的收敛性1.证明下列级数的收敛性,并求其和数:(1)(2)(3)(4)(5)2.证明:若级数发散,则也发散.3.设级数与都发散,试问一定发散吗?又若与都是非负数,则能得出什么结论?4.证明:若数列收敛于,则级数5.证明:若数列有则(1)级数发散;(2)当时,级数6.应用第4,5题的结果求下列级数的和:(1)(2)(3)7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1)(2)(3)(4)§2正项级数1.应用比较原则判别下列级数的敛散性:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

2、(9)2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(其中且).3.设和为正项级数,且存在正数对一切有证明:若级数收敛,则级数也收敛;若发散,则也发散.4.设正数级数收敛,证明亦收敛;试问反之是否成立?5.设且有界,证明收敛.6.设级数收敛,证明也收敛.7.设正项级数收敛,证明级数也收敛.8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式:(1)(2)9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1)(2)§3一般项级数1.下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1

3、)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1)(2)(3)3.设且证明级数是收敛的.总练习题1.证明:若正项级数收敛,且数列单调,则2.若级数与都收敛,且成立不等式证明级数也收敛.若,都发散,试问一定发散吗?3.若且级数绝对收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?4.(1)设为正项级数,且能否判定收敛?(2)对于级数有,能否判定不绝对收敛,但可能条件收敛?(3)设为收敛的正项级数,能否存在一个正数,使得5.证明:若级数

4、收敛,绝对收敛,则级数也收敛.6.设证明级数是收敛的.7.证明:若级数与收敛,则级数和也收敛,且第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性1.讨论下列函数在所示区间上是否一致收敛,并说明理由:(1)(2)(3)(4)(5)2.证明:设若对每一个正整数有则在上一致收敛于.3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性:(1)(2)(3)(4)(5)(6)4.设函数项级数在上一致连续于,函数在上有界.证明级数在上一致连续于5.若区间上,对任何正整数,证明当在上一致收敛时,级数在上也一致收敛.6.设是上单调

5、函数,证明:若和都绝对收敛,则在上绝对且一致收敛.7.在上定义函数列,证明级数在上一致收敛,但它不存在优级数.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质1.讨论下列各函数列在所定义的区间上:(a)与的一致收敛性;(b)是否有定理13.9,13.10,13.11的条件与结论.(1)(2)(3)2.证明:若函数列在是满足定理13.11的条件,则在上一致收敛.3.证明定理13.12和13.14.4.设计算积分5.设计算积分6.设计算7.证明:函数设在上连续,且有连续的导函数.8.证明:定义在上的函数项级数满足定

6、理13.13条件,且总练习题1.试问为何值时,下列函数列一致收敛:(1)(2)2.证明(1)若且在上有界,则至多除有限项外在上是一致有界;(2)且对每个正整数在上有界,则在上一致有界.3.设为上连续函数,证明:(1)在上收敛;(2)在上一致收敛的充要条件是4.若把定理13.10中一致收敛函数数列的每一项在上连续改为在上可积,试证在上的极限函数在上也可积.5.设级数收敛,证明6.设可微函数列在上收敛,在上一致有界,证明:在上一致收敛.第十四章幂级数§1幂级数1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:(1)

7、(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2.应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域):(1)(2)(3)3.证明:设在内收敛,若也收敛,则(注意:这里不管在是否收敛).应用这个结果证明:4.证明:(1)满足方程(2)满足方程5.证明:设为幂级数(2)在上的和函数,若为奇函数,则级数(2)仅出现奇次幂的项,若为偶函数,则(2)仅出现偶次幂的项.§2函数的幂级数展开1.设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数,对一切,有证明:对内任一点与有2.利用已知函数的幂级数展

8、开式,求下列函数在处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)3.求下列函数在处的泰勒展开式:(1)(2)*§3复变量的指数函数欧拉公式1.证明:棣莫弗(deMoivre)公式2.应用欧拉公式与棣莫弗公式证明:(1)(2)总练习题1.证明:当时2.求下列函数的幂级数展开式:(1)(2)(3)3.确定下列幂级数的收敛域,并求其和函数:(1)(2)(3)(4)4.应用幂级数性质求下列级数的和:(1)(2)5.设函数定