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1、数学分析习题第一章实数集与函数§1实数1.设为有理数,为无理数.证明:(1)为无理数;(2)当时,为无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解:(1)(2)(3)≥.3.设证明:若对任何正数有则4.设证明≥2，并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何有(1)≥1;(2)≥2.6.设(表示全体正实数的集合).证明≤你能说明此不等式的几何意义吗?§2数集确界原理1.用区间表示下列不等式的解:(1)≥0;(2)≤6;(3)(为常数,且);(4)≥2.设为非空数集.试对下列概念给出定义:(1)无上界;(2)无界.3.试证明由(3)式所确定的数集有上界而无下
2、界.4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:(1)(2)(3)(4)5.设为非空有下界数集.证明:.§3函数概念1.试作下列函数的图象:(1)(2)(3)(4)(5)2.试比较函数与分别当和时的图象.3.根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数和的解析表示式.4.确定下列初等函数的存在域:(1)(2)(3)(4)5.设函数求(1)6.设函数求7.试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:8.在什么条件下,函数的反函数就是它本身?§4具有某些特性的函数1.证明是上的有界函数.2.(1)叙述无界函数定义:(2)证明为(0,1)上的无界函数;(
3、3)举出函数的例子,使为闭区间[0,1]上的无界函数.3.证明下列函数在指定区间上的单调性:(1)在上严格递增;(2)在上严格递增;(3)在上严格递减.4.判别下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)(4)5.求下列函数的周期:(1)(2)(3)6.设函数定义在上,证明:(1)为偶函数;(2)为奇函数;(3)可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.总练习题1.设证明:(1)(2)2.设和都是D上的初等函数.定义试问和是否为初等函数?3.设函数求:4.已知求.5.利用函数求解:(1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人可增选1名.写出可推选
4、代表数与班级学生数之间的函数关系(假设每班学生数为30~50人);(2)正数经四舍五入后得整数,写出与之间的函数关系.6.已知函数的图象,试作下列各函数的图象:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)7.已知函数与的图象,试作下列函数的图象:(1)(2)8.设和为增函数,满足证明:9.设和为区间上的增函数,证明第7题中定义的函数和也都是上的增函数.10.设为上的奇(偶)函数.证明:若在上增,则在上增(减).11.证明:(1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数;(2)两个偶函数之和与积都为偶函数;(3)奇函数与偶函数之积为奇函数.12.设为D上的
5、有界函数.证明:(1)(2)13.设为D上的非负有界函数.证明:(1)(2)14.将定义在上的函数延拓到R上,使延拓后的函数(i)奇函数;(ii)偶函数.设(1)(2)15.设为定义在R上以为周期的函数.为实数.证明:若在上有界,则在R上有界.16.设在区间I上有界.记证明第二章数列极限§1数列极限概念1.设(1)对下列分别求出极限定义中相应的N:(2)对可找到相应的N,这是否证明了趋于0?应该怎样做才对;(3)对给定的是否只能找到一个N?2.按定义证明:(1)(2)(3)(4)(5)3.根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数
6、列:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)4.证明:若则对任一正数,有5.试用定义证明:(1)数列不以1为极限;(2)数列发散.6.证明定理2.1并应用它证明数列的极限是1.§2收敛数列的性质1.求下列极限:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.设且证明:存在正数,使得当时有3.设为无穷小数列,为有界数列,证明为无穷小数列.4.求下列极限:(1)(2)(3)(4)(5)(6)5.设与中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问和是否必为发散数列?6.证明以下数列发散:(1)(2)(3)§3数列极限存在的条件1.利用求下列极限:(1
7、)(2)(3)(4)(5)2.试问下面的解题方法是否正确:求解设及由于两边取极限得所以3.证明下列数列极限存在并求其值:(1)设(2)设(3)4.利用为递增数列的结论,证明为递增数列.5.应用柯西收敛准则,证明以下数列收敛:(1)(2)6.证明:若单调数列含有一个收敛子列.则收敛.7.证明:若且则8.证明:若为递增(递减)有界数列,则又问逆命题成立否?总练习题1.求下列数列的极限:(1)(2)(3)2.证明:(1)(2)(3)3.设证明:(1)(又问由此等式能否反过来推出)(2)若则4.应用上题的结论证明下列各题:(1)(2)(3)(4)(5)(6
8、)(7)若则;(8)若则5.证明:若为递增数列,为递减数列,且则与都存在且相等.6.设数列满足:存在正数,对一切有证明:数
