考研数学高数总结

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1、定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为，求上物体走过的路程。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则2、曲边梯形的面积—设曲线，由及轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则。二、定积分理论（一）定积分的定义—设为上的有界函数，（1）取，，其中；（2）任取，作；（3）取，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。【注解】（1）极限与区间的划分及的取法无关。【例题】当时，令，对，情形一：取所有，则；情形二：取所有，则，所以极限不存在，于是在上不可积。（2），反之不对。分法

2、：等分，即，；取法：取或，则。则。【例题1】求极限。【解答】。【例题2】求极限【解答】。三、定积分的普通性质1、。2、。3、。4、。5、设，则。【证明】，因为，所以，又因为，所以，于是，由极限保号性得，即。（1）。（2）设，则。6（积分中值定理）设，则存在，使得。四、定积分基本理论定理1设，令，则为的一个原函数，即。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。（2），。（3）。【例题1】设连续，且，求。【解答】，，。【例题2】设为连续函数，且，求。【解答】，。定理2（牛顿—莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。【证明】由得，从而，于是，注意

3、到，所以，即。五、定积分的积分法（一）换元积分法—设，令，其中可导，且，其中，则。（二）分部积分法—。六、定积分的特殊性质1、对称区间上函数的定积分性质设，则（1）则。（2）若，则。（3）若，则。【例题1】设，其中为偶函数，证明：。【解答】。（2）计算。【解答】，因为，所以，取得，于是。2、周期函数定积分性质设以为周期，则（1），其中为任意常数（周期函数的平移性质）。如。（2）。3、特殊区间上三角函数定积分性质（1）设，则，特别地，，且。【例题1】计算。【解答】。【例题2】计算。【解答】。