工科基础数学第六章级数

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1、第六章级数无穷级数是用来表示函数、研究函数性质并利用它进行数学理论分析和数值计算的有力工具．本章首先介绍数项级数的基本理论，再给出幂级数的一些基本结论，最后研究在电工电子学等学科中经常用到的傅里叶级数．第一节　常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念给定一个无穷数列则称表达式为（常数项）无穷级数，简称为（常数项）级数，记为，即其中第n项叫做级数的一般项或通项．我们遇到了新的问题：（1）无穷级数中无穷多个数量怎样相加？（2）无穷多个数量相加是否会有一个确定的结果？在数学上,我们可以从有限项的和出发，观察它的变化趋势，即通

2、过极限的方法，来解决无穷多项的求和问题．设级数的前n项的和称为级数的部分和．当n依次取1，2，3，时，得到一个新的数列：称为级数的部分和数列．如果级数的部分和数列有极限S，即，则称级数收敛，此时极限S叫做此级数的和，并记为；如果没有极限，则称级数发散．发散的级数没有和．例1讨论等比级数（又称为几何级数）的敛散性，其中叫做级数的公比．解当时，所给级数的部分和（1）当时，因为，所以，因此级数收敛，其和为．（2）当时，因为，所以，因此级数发散．（3）当时，若，则，因此级数发散．若，则显然不存在，因此级数发散．综上所述可知，当时

3、，等比级数收敛，其和为；当时，等比级数发散．等比级数的敛散性今后常要用到，请读者熟记．例2证明级数收敛．证由于，所以级数的部分和为=因为所以此级数收敛，其和为1．例3讨论调和级数的敛散性．解调和级数的部分和为如图，各小矩形的面积依次为显然这个矩形面积之和大于由曲线所围成的曲边梯形的面积，即于是因此调和级数发散．二、数项级数的性质根据级数收敛、发散以及和的概念，可以得出级数的几个基本性质：性质1设是不为0的常数，则级数与级数有相同的敛散性．特别地，如果级数收敛于S，那么级数也收敛，且其和为．性质2如果级数、分别收敛于S、T

4、，那么级数也收敛，且其和为．性质2也可说成：收敛的级数可以逐项相加或逐项相减．例4判定级数是否收敛？若收敛，求其和．解因为是首项，公比的等比级数，它是收敛的，其和为；是首项，公比的等比级数，它也是收敛的，其和为，所以根据性质2可知，级数收敛，其和为．性质3在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变该级数的敛散性．例如级数发散，则级数也发散．性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则．说明1．其逆命题不成立．即由，并不能推出级数收敛，例如调和级数的一般项趋向于0，但它是发散的．所以只是级数收敛的必要条件．2．若，则级数发散．

5、这为我们提供了一种判别级数发散的方法．在讨论级数敛散性时，我们常常先考察，若它不存在或不为零，则级数必发散．如级数的通项因为所以此级数发散．试一试判断下列级数的敛散性1．2．3．4．第二节常数项级数的审敛法在研究级数时，一个重要的问题是判断级数是否收敛，而只利用级数收敛、发散的定义和性质来判断级数的敛散性，常常是很困难的，因此需要建立判断级数敛散性的审敛法．本节着重讨论几种基本的数项级数的敛散性．一、正项级数的审敛法所谓正项级数，就是级数的每一项都是正数或零，即．这是一类十分重要的级数，以后会看到许多级数的敛散性问题可归

6、结为正项级数的敛散性问题．下面不加证明地给出两个定理．正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界．正项级数的比较审敛法设有正项级数和（1）若，且级数收敛，则级数也收敛；（2）若，且级数发散，则级数也发散．例1讨论p-级数的敛散性．解当时，有，而发散，由比较审敛法知，级数发散．当时，当时，有．所以从而部分和数列因此数列有界，从而级数收敛．综上所述，当时，级数收敛；当时，级数发散．这个结论以后常要用到，应给予足够重视．例如，级数是收敛的，而级数是发散的．例2判定级数的敛散性．解因为，而级数收敛，根据比较

7、审敛法知，级数收敛．例3判定级数的敛散性．解因为，而级数发散，根据比较审敛法知，级数发散．说明1．比较审敛法的基本思想是将要判断的级数与我们熟悉的级数进行比较，通过比较一般项的大小，来判断给定级数的敛散性．因为等比级数或级数是敛散性已知的级数，所以通常找这两类级数来进行比较；2．利用比较审敛法判定正项级数的敛散性之前，应该对所给级数的敛散性有个初步估计．但有时比较困难，既然级数的敛散性是级数本身固有的属性，理应有方法从级数自身出发直接判断。下面我们不加证明地给出比值审敛法．正项级数的比值审敛法（或达朗贝尔判别法）设为正项

8、级数，如果，则（1）当时级数收敛；（2）当时级数发散；（3）当时级数可能收敛，也可能发散．关于第（3）条，例如级数，不论为何值都有，但我们知道，当时级数收敛，当时级数发散．即当时比值审敛法失效，此时需改用其他方法判定级数的敛散性．例4判定级数的敛散性．解因为由比值审敛法知，级数发散．例5判定级数的敛散性．解因为由比值