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时间:2018-12-22
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1、平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标认知学习目标: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义; 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系; 3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算; 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点: 数量积的运算,以及运用数量积求模与夹角.难点: 用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一:平面向量的数量积 1.平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量与,
2、它们的夹角是,则数量叫与的数量积,记作,即有.并规定与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影:叫做向量在方向上的投影. 要点诠释: 1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成;今后要学到两个向量的外积,而是两个向量的 数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×” 代替. (3)在实数中,若,且,则;但是在数量积中,若,且,不能推出 .因为其中有可能为0. 2.投影也是一个数量,不是向量;当为
3、锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0°时投影为;当=180°时投影为.知识点二:向量数量积的性质 设与为两个非零向量,是与同向的单位向量. 1. 2. 3.当与同向时,;当与反向时,.特别的或 4. 5.知识点三:向量数量积的运算律 1.交换律: 2.数乘结合律: 3.分配律: 要点诠释: 1.已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但是; 2.在实数中,有(a×b)c=a(b×c),但是 显然,这是因为左端是与共线的向量,而右端是与共线的向量,而一般与不共线.知识点四:向量数量积的坐标表示 1.已知两个非零向量
4、,, 2.设,则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用: (1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题,常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题,利用 (4)求线段的长度,可以利用或2.向量在物理中的应用: (1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用; (2)向量在速度分解与合成中的作用.经典例题透析类型一:数量积的运算 1.已知下列命题: ①; ②; ③; ④ 其中正确命题序号是___________.
5、 思路点拨:掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律. 解析:②、④. 2.已知;(2);(3)的夹角为30°,分别求. 解析:(1)当时, 或. (2)当时,. (3)当的夹角为30°时,. 举一反三: 【变式1】已知,求. 解析: 总结升华:熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二:模的问题 3.已知向量满足,且的夹角为60°,求. 解析:,且的夹角为60° ; 总结升华:要根据实际问题选取恰当的公式 举一反三: 【变式1】已知的夹角为,,,则等于() A5
6、 B.4 C.3 D.1 解析:,,解得,故选B. 总结升华:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.类型三:夹角问题 4.①已知,求向量与向量的夹角. ②已知,夹角为,则___________. 解析:①, 故夹角为60°. ②题意得. 总结升华:求两个向量的夹角,需求得,及,或得出它们的关系,在求解过程中要注意夹角的范围,同时要正确理解公式. 5.已知是非零向量,若与垂直,与垂直,试求的夹角. 解析:由条件知且 ∴① ② 由①-②得,代入① ∴ ∴ 即所求向量的夹角
7、为. 举一反三: 【变式1】已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角. 解析:法一:将两边平方得 ,则,故的夹角为30°.法二:数形结合总结升华:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角. 解析:设为等腰三角形,,AD、BE为两直角边BC、AC的中线,以两直角边BC、AC所在的直线分别为,轴,建立直角坐标系,如图所示,并设,,则,. ∴,, ∴, 又,, 设AD与BE所成的钝角为角
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