多元函数的概念-连续

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1、时间安排第8次课，章节名称§8.1多元函数的基本概念教学目的2.了解二元函数连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。教学重点与难点教学重点：有界闭区域上的连续函数的性质；教学难点：二元函数的连续概念教学内容与过程设计四.二元函数的连续性l定义3设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的聚点,且P0ÎD.如果,则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.如果函数f(x,y)在D的每一点都连续,那么就称函数f(x,y)在D上连续,或者称f(x,y)是D上的连续函数.二元函数的

2、连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.例3设f(x,y)=sinx,证明f(x,y)是R2上的连续函数.证设P0(x0,y0)ÎR2."e>0,由于sinx在x0处连续,故$d>0,当

3、x-x0

4、

5、sinx-sinx0

6、

7、f(x,y)-f(x0,y0)

8、=

9、sinx-sinx0

10、

11、(x0,y0)ÎR2.因为,所以函数f(x,y)=sinx在点P0(x0,y0)连续.由P0的任意性知,sinx作为x,y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知,一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时,它们在各自的定义域内都是连续的.l定义4设函数f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则称P0(x0,y0)为函数f(x,y)的间断点.例如教学内容与过程设计函数,其定义域D=R2,O(0,0)是D的聚点.f(x,y)当(x,y)®(0

12、,0)时的极限不存在,所以点O(0,0)是该函数的一个间断点.又如,函数,其定义域为D={(x,y)

13、x2+y2¹1},圆周C={(x,y)

14、x2+y2=1}上的点都是D的聚点,而f(x,y)在C上没有定义,当然f(x,y)在C上各点都不连续,所以圆周C上各点都是该函数的间断点.注:间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明,多元连续函数的和、差、积仍为连续函数;连续函数的商在分母不为零处仍连续;多元连续函数的复合函数也是连续函数.l多元初等函数:与一元初等函数类似,多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元

15、函数,这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如,sin(x+y),都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性,如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则.例4求.解:函数是初等函数,它的定义域为D={(x,y)

16、x¹0,y¹0}.P0(1,2)为D的内点,故存在P0的某一邻域U(P0)ÌD,而任何邻域都是区域,所以U(P0)是f(x,y)的

17、一个定义区域,因此.一般地,求时,如果f(P)是初等函数,且P0是f(P)的定义域的内点,则f(P)在点P0处连续,于是.例5求.解:.l多元连续函数的性质:性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说,若f(P)在有界闭区域D上连续,则必定存在常数M>0,使得对一切PÎD,有

18、f(P)

19、£M;且存在P1、P2ÎD,使得f(P1)=max{f(P)

20、PÎD},f(P2)=min{f(P)

21、PÎD},性质2(介值定理)在有界闭区域D上的

22、多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.例题选讲：多元函数的概念二元函数的连续性例6讨论二元函数在处的连续性.例7求极限例8求教学后记**“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。