函数逼近与曲线拟合

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1、函数逼近与曲线拟合3.１　函数逼近的基本概念3.1.1函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，

2、称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空

3、间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．定义１　设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得，(3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间．下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为，

4、(3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差（为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立．这个定理已在“数学分析”中证明过．这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦１９１２年给出的证明是一种构造性证明．他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式，(3.1.3)其中，其

5、中，并证明了在上一致成立；若在上阶导数连续，则．这不但证明了定理１，而且由(3.1.3)给出了的一个逼近多项式．它与拉格朗日插值多项式很相似，对，当＝１时也有关系式．(3.1.4)这只要在恒等式中令就可得到．但这里当时还有，于是是有界的，因而只要对任意成立，则有界，故是稳定的．至于拉格朗日多项式，由于无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性．相比之下，多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用．更一般地，可用一组在上线性无关的函数集合来逼近，元素，表示为．　　　　(3

6、.1.5)函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某种意义下最小．3.1.2范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广．定义2.1.2设为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件：（1）正定性：，（2）当且仅当时，（3）；（4）齐次性：，（5）；（6）三角不（7）等式：，（8）．则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为．例如，在上的向量，三种常用范数为类似地对连续函数空间，若可定义三种常用范数如下：可以验证这样定义的范数均满足定义

7、3.1.2中的三个条件．3.1.3内积与内积空间在线性代数中，中两个向量及的内积定义为．若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义．定义3.1.3　设是数域上的线性空间，对，有中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（１）；（２）；（３）；（４），当且仅当时，．则称为上与的内积．定义了内积的线性空间称为内积空间．定义中（１）的右端称为的共轭，当为实数域时．如果＝０，则称与正交，这是向量相互垂直的概念的推广．关于内积空间性质有以下重要定理．定理3.1.2设为一个内积空间，对，有(3.1.6)称为Cauchy-

8、Schwarz不等式．［证明］当时(3.1.6)式显然成立．现设，则，且对任何数有．取，代入上式右端，得，即得时．定理证毕定理3.1.2设为一个内积空间，，矩阵（3.1.7）称为Gram矩阵，则Ｇ非奇异的充分必要条件是线性无关．［证明］Ｇ非奇异等价于，其充分必要条件是齐次方程组　　　　　　　　　　(3.1.8)只有零解．而　　　　　　　　　　　(3.1.9)从以上的等价关系可知，等价于从(3.1.8)推出．而后者