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哈尔滨学院本科毕业论文（设计）哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：等比级数在幂级数中的拓广院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名学号指导教师曹辉职称副教授2013年5月20日 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目录摘　要1ABSTRACT2前　言3第一章　预备知识41.1　等比级数的敛散性41.2　幂级数及其收敛域41.2.1幂级数的定义41.2.2幂级数的收敛半径、收敛域51.2.3幂级数的分析性质51.3　函数展开成幂级数61.3.1　泰勒（Taylor）级数61.3.2　直接法将函数展开成幂级数71.3.3间接法将函数展开成幂级数7第二章　等比级数在幂级数中的应用92.1　等比级数在求幂级数和函数中的应用92.1.1形如的幂级数求和函数92.1.2形如的幂级数求和函数132.2　等比级数在函数展成幂级数中的应用15结束语18参考文献19后　　记20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）摘要在幂级数中，级数求和函数与函数展开成幂级数都是非常重要的问题，此问题的解决方法有它的特殊性，其中可以用间接方法解决，即借助等比级数的结果，可以达到预期的效果。本文首先讨论了等比级数的敛散性，然后给出了幂级数的有关问题，包括幂级数的定义、收敛半径、收敛域、泰勒级数以及函数展开成幂级数的方法，最后对等比级数的应用做了一个较系统的分析。它们分别是等比级数在求幂级数和函数中的应用、在函数展成幂级数中的应用以及等比级数的重要意义，这些应用为研究其他有关问题奠定了基础。特别是采用间接方法时等比级数的结果，起到非常重要的作用。关键词：等比级数；幂级数；和函数；间接法20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTInpowerseries,theseriessummationfunctionsareexpandedintopowerserieswiththeveryimportantissue,thesolutionofthisproblemhasitsparticularity,whichcanberesolvedbyindirectmethods,whichusethegeometricseriesresultscanachievethedesiredresults.ThispaperfirstdiscussestheConvergenceofgeometricseries,andthengivesthepowerseriesofrelatedissues,includingthedefinitionofpowerseries,radiusofconvergence,domainofconvergence,Taylorseriesandthefunctionexpansionintopowerseriesmethod,Finally,theapplicationofgeometricseriestodoamoresystematicanalysis.Theyareseekingpowerseriesinthegeometricseriesandfunctionsintheapplicationdevelopmentfunctionintoapowerseriesintheapplicationandtheimportanceofgeometricseries,theseapplicationsforresearchlaidthefoundationforotherrelatedissues.Especiallywhenusingtheindirectmethodtheresultsofgeometricseries,playaveryimportantrole.Keywords：geometricseries;Powerseries;Summationfunction;Indirectmethod20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）前言幂级数是函数级数中的一类重要级数。对于幂级数,主要讨论两方面的问题:一方面是收敛性及和函数问题;另一方面是如何将已知函数展开成幂级数。本文就此讨论等比级数在求幂级数的和函数以及将函数展开成幂级数时的应用。等比级数是数学分析中一个非常重要的级数，在幂级数中，级数求和函数与函数展开成幂级数是一个难点，采用间接方法时等比级数的结果对解题起到非常重要的作用，因此如何应用等比级数求和函数与展开成幂级数是本文主要探讨的内容。本文不仅对幂级数的有关定义进行了总结，而且对等比级数的各种应用做了系统的阐述与分析。通过本课题的研究使学生能够加深对幂级数的进一步理解，使解题变得更加简便，也对问题中的一些解题技巧有很大的帮助。本文第一章首先对等比级数的敛散性进行了讨论，进而给出了与幂级数有关的一些概念、定理、幂级数的分析性质、泰勒（Taylor）级数、直接法将函数展开成幂级数、间接法将函数展开成幂级数并给出了常用的函数展开式、等内容。函数的幂级数展开是高等数学的教学重点之一,在解决函数的幂级数展开的问题中,等比级数起着重要的作用。故本文第二章介绍了利用等比级数将函数展开成幂级数的常见情形,并给出了具体的例子。同时也对等比级数在求两个形式的幂级数的和函数中的应用进行了阐述，并以具体实例加深理解。20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）第一章预备知识1.1等比级数的敛散性讨论等比级数的敛散性，其中是公比。解当时，已知等比级数的项部分和当时，存在极限，且因此，当时，等比级数收敛，其和是。即当时，不存在极限，且因此，当时，几何级数发散。1.2幂级数及其收敛域1.2.1幂级数的定义在函数项级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数项级数，称为幂级数，其中，，…，，…都是常数，称为幂级数的系数。20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）如果令，上面的幂级数就化为最简形式的幂级数（1-1）为了方便，我们下面讨论的就是幂级数（1-1）1.2.2幂级数的收敛半径、收敛域幂级数（1-1）在：绝对收敛；在：发散。这个称为幂级数（1-1）的收敛半径。我们作如下规定：若幂级数（1-1）仅在原点收敛，则它的收敛半径；若幂级数（1-1）在收敛，则它的收敛半径。于是，任意幂级数都有唯一一个收敛半径。幂级数（1-1），即，由它的系数数列所确定。因此即幂级数（1-1）的收敛半径也必由它的系数数列唯一确定。我们有下面定理：定理1有幂级数（1-1），即，若（或）则幂级数（1-1）的收敛半径设幂级数（1-1）的收敛半径是，那么幂级数（1-1）都绝对收敛。在开区间的两个端点与，幂级数（1-1）的收敛域必是收敛区间，只能是四类区间：，，，之一。1.2.3幂级数的分析性质若幂级数的收敛半径为，则有20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）（1）和函数在内是连续的。若在端点（或）处收敛，则和函数在点左连续（或在点右连续）。（2）幂级数可以逐项微分，即，若逐项微分后得到的幂级数在端点（或）处收敛，则逐项微分以前的幂级数在点（或）也收敛。（3）幂级数可以逐项积分，即，若幂级数在端点（或）处收敛，则积分上限可取为（或）。1.3函数展开成幂级数1.3.1泰勒（Taylor）级数定理2若函数在区间能展成幂级数，即，有则函数在区间存在任意阶导数，且，定理1指出，若函数在的领域能展成幂级数，则在此领域必存在任意阶导数，并且幂级数的系数由函数的阶导数在的值唯一确定，即20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）如果函数在存在任意阶导数，我们总能形式的写出相应的幂级数：称为函数在的泰勒级数，记为其中符号“～”表示上式右端的泰勒级数是由函数生成的。特别地，函数在的泰勒级数，即称为函数的麦克劳林级数。1.3.2直接法将函数展开成幂级数以下主要讨论的是函数在点处展为幂级数的问题用直接法将函数展开为的幂级数的步骤是（1）求出在点处各阶导数值，（2）写出幂级数并求出收敛半径。（3）在收敛区间内考察泰勒级数余项的极限（介于0与之间）是否为零，如果为零，则第（2）步写出的幂级数就是的幂级数展开式。1.3.3间接法将函数展开成幂级数这种方法是利用已知函数展开式，经过适当的四则运算、复合步骤以及逐项微分、逐项积分等把所给函数展为幂级数。常用的函数展开式有（1），20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）（2）（3）（4）（5）（6）（7），是常数，20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）第二章等比级数在幂级数中的应用2.1等比级数在求幂级数和函数中的应用对于幂级数求和函数的问题，首先要求记住一些常用级数的和函数，其次要善于利用适当的变量代换、幂级数的代数运算和分析运算，把所讨论的级数化为已知和函数的幂级数的形式，求其和，再作相应的逆运算。在求幂级数的和函数时，一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的等比级数，在求和后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数。要注意的是，这些运算均在幂级数的收敛区间内进行，写出和函数时，必须注明收敛区间。故利用等比级数的结果来进行计算就非常重要，下面用例子说明。2.1.1形如的幂级数求和函数对于形式的幂级数,在求和函数时,采取先逐项求导，然后用公式求其和函数，最后再积分的方法.例1求幂级数的和函数解先求得幂级数的收敛半径为，收敛区间为.设幂级数的和函数为，则其中20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）设，则由和函数逐项求导的性质，有（此处应用了等比级数）于是而故且当时，.于是=.例2求幂级数在区间内的和函数S(x)解设,,则，由于20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）则由和函数逐项求导的性质，有，（此处应用了等比级数）因此又由于,故，，所以，，例3求幂级数的收敛域，并求其和函数。解，收敛半径。当时，原级数为收敛；当时，原级数为收敛。故幂级数的收敛域为.令则由和函数逐项求导的性质，有20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）（此处应用了等比级数）对上式两边积分，有当时，原级数为收敛。当时，级数为(因为，，当时)；当时，级数为。故的和函数为，且，，注对于上述例3也可以按下面方法求解20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）分别求出，的和，就可得出的和。小结例题应用了和函数逐项求导的性质，利用适当的变量代换、幂级数的代数运算和分析运算，将级数化为已知的等比级数的展式进行求和。2.1.2形如的幂级数求和函数对于形式的幂级数,在求和函数时,采取先逐项求积分，然后用公式求其和函数，最后再求导数的方法.例4求的收敛域及和函数。解，收敛半径R=1，在端点处，级数为，发散；在处，级数为，发散，故收敛域为。设，，则由和函数逐项积分的性质，有然后两边对求导，得例5求级数，解设，20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）则由和函数逐项积分的性质，有上式两端求导得即例6求幂级数的收敛域，并求其和函数。解因为故该级数的收敛域为。设，则由和函数逐项积分的性质，有，小结由等比级数的和函数公式出发，经过逐项求导、逐项积分、换元以及加减法等运算，可以求出某些幂级数的和函数。例如（1），；（2），；20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）（3），；（4），；（5），。2.2等比级数在函数展开成幂级数中的应用在函数展成幂级数时，一般是利用已知的函数展开式，借助等比级数的结果，经过适当的四则运算、复合步骤以及逐项微分、逐项积分等把所给函数展为幂级数。例7将函数展开为的幂级数。解（此处应用了等比级数），，所以，.例8将展开成的幂级数。解由，（此处应用了等比级数）得从而20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）故，.例9将函数展开成的幂级数。解，其中，，（此处应用了等比级数），（此处应用了等比级数）于是，小结等比级数无论是在求幂级数的和函数还是函数展成幂级数中都有着重要的意义。在求幂级数的和函数时，通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的等比级数，从而可以较易求出幂级数的和函数。而在函数展成幂级数时，一般会利用等比级数的结果，经过适当的四则运算、复合步骤以及逐项微分、逐项积分等把所给函数展为幂级数。20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）结束语20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）等比级数是数学分析中一个非常重要的级数，本文就此讨论了等比级数在求幂级数的和函数以及将函数展开成幂级数时的应用，而这些应用为研究其他有关问题奠定了基础。通过本课题的研究使学生能够加深对幂级数的进一步理解，使解题变得更加简便，也对问题中的一些解题技巧有很大的帮助。通过本次的毕业论文设计使我对数学专业有了更为深刻的认识，设计的过程是个不断学习、不断完善自我的过程，并且是对专业知识的进一步理解和体会。我总结了大学阶段所学习的数学分析等有关知识，通过老师的指导以及自己查阅大量资料完成了本篇论文，希望能对以后这方面的研究有所帮助。参考文献20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社.2008[2]陈文灯.高等数学辅导[M].世界图书出版社.2004[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001[4]吉米多维奇.数学分析习题集[M].高等教育出版社.2010[5]同济大学应用数学系.高等数学[M].同济大学出版社.2004[6]张天德,韩振来.数学分析辅导及习题精解[M].延边大学出版社.2011[7]徐森林,薛春华.数学分析[M].清华大学出版社.2005[8]黄永辉.数学分析选讲[M].中国铁道出版社.2008[9]罗利民.高等数学[M].华南理工大学出版社.2003[10]徐惠益.等比级数在幂级数问题中的应用[J].常州信息职业技术学院学报.2007[11]杨丽娟.无穷等比级数求和公式在级数中的应用[J].长春师范学院学报.2005[12]詹瑞清,卢海敏.高等数学[M].学苑出版社.2003[13]侯云畅.高等数学学习与考研指导[M].国防工业出版社.2006[14]张天德,蒋晓芸.高等数学习题精选精解[M].山东科学技术出版社.2007[15]朱宝彦,刘玉柱.高等数学学习指导[M].北京大学出版社.2008后记20 哈尔滨学院本科毕业论文（设计）本论文的顺利完成我要非常感谢哈尔滨学院数学系曹辉老师在此篇文章的写作过程中所给予我帮助，以及耐心全面的教导。曹辉老师所表现出的认真严谨、实事求是的治学态度，孜孜不倦的工作作风，富于开创性的思维，使我非常的敬佩，在论文的写作过程中，老师不辞辛劳的谆谆教导，指点迷津，以她的经验与学识精心指导我，在此，我向我的指导教师曹辉老师表示最深切的谢意！在此也衷心感谢所有在我的毕业论文设计过程中给予我指导帮助的老师和同学，以及院系对我的支持。对这些老师同学和院系领导表示最诚挚的感谢！最后感谢我的母校——哈尔滨学院，在这里四年里，我的母校陪我度过了一生中最难忘的青春时光，在此，由衷的祝福哈尔滨学院永远辉煌！20