高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.1 变化率教案 新人教b版选修1-1

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1、变化率一．内容与内容解析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景，引出平均变化率的概念。设函数在上有定义，设，，则称为函数从到的平均变化率。记（自变量的增量），（函数的增量），则平均变化率可表示为。本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；

2、表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。在高台跳水问题中，通过从平均速度到瞬时速度的过程抽象出瞬时速度的概念，再抽象出瞬时变化率的概念。设函数在及其附近有定义，在附近给自变量以增量，则函数有相应的增量，若趋近于0时，趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为当趋近于0时的极限，记作。设函数在及其附近有定义，若存在，则称它为函数在的瞬时变化率，也称它为函数在的导数，记作或，即。本质是函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，而瞬时变化率就是函数在这一点附近平均变化率的极限（当自变量增量趋近于0）

3、。二．目标和目标解析本节课要求学生能借助对气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究，提炼出平均变化率的概念，并能正确理解平均变化率的定义。通过实例、直观感知、讨论、探究，理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想。通过探究归纳出瞬时变化率的概念，并能理解瞬时变化率就是导数。三．教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐

4、步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。教学的难点是对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率，逼近思想下的瞬时变化率的理解

5、。教学重点是平均变化率、瞬时变化率的理解。方式是特殊到一般、具体到抽象、实际问题到数学问题的过程。四．教学支持条件分析为了有效实现教学目标，可以借助计算机辅助教学，增加课堂上知识之间的交互性，用气球做试验，提高学生的兴趣和课堂效率．五．教学设计（ⅰ）课题引入利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。引出学习本章的意义及重要性。设计意图：利用熟悉的问题激

6、发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。(ⅱ)问题链设计（1）老师吹气球，学生观察，思考每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？设计意图：从简单的背景出发，利用学生原有的知识经验培养学生观察、总结的能力，激发学生求知欲望。（2）从数学的角度如何研究呢？（3）从图象上观察：取相同的观察的变化情况？取相同的观察变化相同吗？那哪段上气球变大得快呢，为什么？（4）若取不同的、那哪段上气球变大得快呢，为什么？设计意图：从特殊到一般进一步理解平均膨胀率（5）气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路

7、延伸到函数上，能否归纳出函数的平均变化率？设计意图：从平均膨胀率抽象出平均变化率，引出平均变化率的概念。（6）观看十米跳台，那么在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，在 时间段内？（7）在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数，0的时候，其运动状态是怎样的？（8）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？设计意图：体会平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员的运动状态，激发学生的求知欲，自然的引出瞬时速度的概念。（9）根据物理中的知识，运动员在每一个时

8、刻必有瞬时速度，那么如何求瞬时速度呢？（10）当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？（11）从物理角度看趋近于0，平均速度趋近于什么？设计意图：从实例出发引出平均速度与瞬时速度的关系（12）运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？（13）函数在处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：从特殊到一般抽象出函数瞬时变化率（导数）的概念。让学生体会从一般到特殊。（14）请同学们回想一下，我们这节课都进行了哪些活动