高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.1 函数的平均变化率学案 新人教b版选修1-1

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1、3.1.1　函数的平均变化率1．了解函数的平均变化率．2．会求一些简单函数的平均变化率．1．直线的斜率k、倾斜角α及直线上两点坐标之间的关系设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)(x0≠x1)，自变量x的改变量x1－x0记为Δx，函数值的改变量y1－y0记为Δy，即______＝x1－x0，______＝y1－y0.直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则有k＝______＝＝________.【做一做1】直线l过点A(3,6)和B(4,7)，求直线l的斜率k.2．平均变化率已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－

2、x0，Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝__________，则当Δx≠0时，比值____________＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(1)Δx和Δy是整体符号而不是乘积，它们分别表示自变量和函数值的改变量；(2)Δy与Δx是对应的，当Δx＝x－x0时，Δy＝y－y0.它们可正可负，但Δx≠0，Δy可为0.【做一做2】若函数f(x)＝x2的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝__________.1．对平均变化率概念的理解．剖析：(1)函数f(x)在x0处有定义；(2)x是x0附近的任意一点

3、，即Δx＝x－x0≠0，Δx可正可负，并且它的绝对值是一个较小的正数；(3)改变量的对应：若Δx＝x－x0，则Δy＝f(x)－f(x0)，而不是Δy＝f(x0)－f(x)；(4)平均变化率可正可负也可为零．2．对平均变化率的意义的认识：剖析：函数的平均变化率可以体现出函数的变化趋势，增量Δx越小，越能准确体现函数的变化情况．题型一平均变化率的概念【例1】在平均变化率的定义中对自变量的增量Δx的要求是(　　)A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零题型二求函数的平均变化率【例2】试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率的大小．分析

4、：先求出正弦函数在x＝0和x＝附近的平均变化率，然后比较大小．反思：(1)求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：①计算函数值的改变量：Δy＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②计算自变量的改变量Δx＝x－x0；③计算平均变化率：＝.(2)比较平均变化率哪一个大，实际则是比较大小的问题，应按作差法或作商法的步骤进行判断，关键是对差的符号进行判断．1在平均变化率的定义中对函数值的改变量Δy的要求是(　　)A．大于零B．小于零C．等于零D．可正可负可为零2在平均变化率的定义中，函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的对应关系是指(　

5、　)A．当Δx＝x－x0时，Δy＝f(x)－f(x0)B．当Δx＝x－x0时，Δy＝f(x0)－f(x)C．当Δx＝x0－x时，Δy＝f(x)－f(x0)D．以上答案都不正确3已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则＝(　　)A．2B．2ΔxC．Δx＋2D．(Δx)2＋24函数f(x)＝x2＋1在2到2.5之间的平均变化率为__________．5函数f(x)＝2x2＋1在x＝1附近的平均变化率__________在x＝3附近的变化率(填“大于”“小于”“等于”)．答案：基础知识·梳理1．Δx　Δy　t

6、anα　【做一做1】解：k＝＝＝1.2．f(x0＋Δx)－f(x0)　【做一做2】Δx＋2　先计算Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝(Δx)2＋2Δx，再算＝Δx＋2.典型例题·领悟【例1】D　由平均变化率的定义知Δx≠0.【例2】解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝，由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴

7、sin＜－.从而有sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．随堂练习·巩固1．D　2．A3．C　先算Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－12－1＝(Δx)2＋2(Δx)，再算＝Δx＋2，从而选C.4．4.55．小于　先求x＝3附近的平均变化率，k1＝＝＝＝2Δx＋12；再求在x＝1附近的平均变化率可得k2＝＝2Δx＋4；因为k1－k2＝2Δx＋12－2Δx－4＝8＞0，所以填“小于”．