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《2013高考数学 能力加强集训 专题三第3讲 第3讲 推理与证明（含详解）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题三第3讲 推理与证明一、选择题(每小题4分，共24分)1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个是偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数解析 至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数．答案 B2．(2012·济南模拟)在实数的原有运算法则(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕
2、b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.则当x∈[－2,2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于A．－1 B．1C．6 D．12解析 易知f(x)＝∴当x＝2时，f(x)的最大值为23－2＝6.答案 C3．(2012·厦门模拟)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a2012－5＝A．2018×2012B．2018×2011C．1009×2012D．1009×2011解析 观察可知a2012＝2＋3＋4＋…＋20
3、14＝×2013×(2＋2014)＝2013×1008，∴a2012－5＝2013×1008－5＝1009×2011.答案 D4．(2012·枣庄模拟)22012个位上的数字为A．2B．4C．6D．8解析 由21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，观察可知，24k的个位数为6,24k＋1的个位数为2,24k＋2的个位数为4,24k＋3的个数为8，k∈N，∴22012＝24×503的个位数为6.答案 C5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由
4、“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④由“
5、m·n
6、＝
7、m
8、·
9、n
10、”类比得到“
11、a·b
12、＝
13、a
14、·
15、b
16、”．以上结论正确的是A．①③B．①②C．②③D．②④解析 因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为
17、a·b
18、＝
19、a
20、·
21、b
22、·
23、cos〈a，b〉
24、，所以④错误．故选B.答案 B6．现有一个关于平面图形的命题
25、：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A.B.C.D.解析 由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·烟台一模)若实数x、y、m满足
26、x－m
27、＞
28、y－m
29、，则称x比y远离m.若x2－1比1远离0，则x的取值范围是________．解析 据题
30、意知
31、x2－1－0
32、＞
33、1－0
34、，即
35、x2－1
36、＞1，∴x2－1＞1或x2－1＜－1，解得x＜－或x＞.答案 (－∞，－)∪(，＋∞)8．(2012·苏州模拟)观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N＋，用含有n的代数式表示)．解析 由数表知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)3＝2＝
37、.答案 9．(2012·昆明模拟)设f(x)＝ax＋b，其中a，b为实数，f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2,3，…，若f7(x)＝128x＋381，则a＋b＝________.解析 由递推式可得f2(x)＝a2x＋ab＋b，f3(x)＝a3x＋a2b＋ab＋b，f4(x)＝a4x＋a3b＋a2b＋ab＋b，…f7(x)＝a7x＋a6b＋…＋ab＋b＝128x＋38，∴a7＝128，∴a＝2，(a6b＋a5b＋…＋ab＋b)＝b(1＋a＋…＋a6)＝b×＝127b＝381，∴b＝3.
38、故a＋b＝5.答案 5三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．证明 因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac
