八年级数学下册 4.2 角平分线教案 （新版）北师大版

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1、第一章三角形的证明4.2角平分线【教学内容】角平分线性质定理和逆定理的应用。【教学目标】知识与技能证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论；角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．过程与方法进一步发展学生的推理证明意识和能力；培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．情感、态度与价值观能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．【教学重难点】重点：三角形三个内角的平分线的性质．综

2、合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．【导学过程】【知识回顾】角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。【情景导入】问题l习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学

3、生进行逻辑上的证明。【新知探究】探究一、已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分

4、线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等探究二、例题讲解[例1]如图，在△ABC中．

5、AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们

6、第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)．∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=42cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．(2)证明：由(1)的求

7、解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．【知识梳理】本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．【随堂练习】习题1．10第1、2题