高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1

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1、4.1.1导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝f(x)的图像如右图411所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是(　　)图411【解析】　由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在这两个区间上，f′(x)均小于0.【答案】　D2．函数f(x)＝x3－8x2＋13x－6的单调减区间为(　　)A．(－∞，1)B.C.D．(－∞，1)∪【解析】　∵f′(x)＝3x2－16x＋13，令f′(x)<0，得1

2、减区间为.【答案】　B3．y＝8x2－lnx在和上分别是(　　)A．增加的，增加的B．增加的，减少的C．减少的，增加的D．减少的，减少的【解析】　y′＝16x－＝，当x∈时，y′＜0，函数在上是减少的；当x∈时，y′＞0，函数在上是增加的．【答案】　C4．已知函数f(x)＝＋lnx，则有(　　)A．f(2)0，∴f(x)在

3、(0，＋∞)上为增加的，∴f(2)

4、调增区间，又有减区间，则a的取值范围是________.【解析】　∵f′(x)＝3x2－a，由条件知，f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0.【答案】　(0，＋∞)7．函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在R上单调递减，则实数m的范围为________．【解析】　g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m≤0，∴m≤－.【答案】　8．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．【解析】　f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5

5、0，得x>1；由y′<0，得0

6、x∈R，且x≠0}．∵y＝x＋，∴y′＝1－.当y′>0，即x>3或x<－3时，函数y＝x＋单调递增；当y′<0，即－3

7、．故函数y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．10．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．【解】　由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3－，x∈(

8、－1,1)，显然g(x)0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞)．[能力提升]1．已知函数y＝f(x)的图像如图412所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是(　　)图412【解析】　对于选项A，y＝f′(x)的符号变化情况为大于0、小于0、大于0、小于0，反映在函数y＝f(x)的图像上，即得y＝f(x)的单调变化情况为增、减、增、减

9、，满足条件．而其他三个选项均不满足条件．【答案】　A2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．【答案】　D3．设命题p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(