《导数的若干应用》word版

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1、数学与统计学学院中期报告学院:数学与统计学学院专业:数学与应用数学年级:2010级题目:导数的若干应用学生姓名:学号:指导教师姓名:职称:2012年6月10日目录引言21微分中值定理22.1型不定式极限52.2型不定式极限64导数在研究函数问题中的应用74.1导数在研究函数单调性中的应用74.2导数在研究函数极值与最值中的应用84.2.1函数极值的求法84.2.2函数最值的求法94.3导数在研究函数的凹凸性和拐点中的应用94.4导数在函数作图中的应用105导数在经济中的应用125.1边际分析125.1.1边际成本12在经济学中,产品的总成本是指生产一定数目的产品所需的全部

2、经济资源投入(包括劳力原料设备等)得价格或费用总额.它由固定成本与可变成本组成.125.1.2边际收益135.1.3边际利润145.2弹性分析145.2.1供给弹性145.2.2需求弹性156.导数在物理中的应用18结论18致谢19参考文献19导数的若干应用摘要：导数是重要的数学工具，用它可以解决很多数学问题，如利用导数研究不定式极限，以及利用导数解决函数的相关问题（如利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值和最值，利用导数研究函数的凹凸性和拐点）.此外导数在经济分析中以及物理方面也有广泛应用.关键词:导数；应用；极限；函数；边际；弹性；物理Numberofappli

3、cationsofthederivativeAbstract:Derivativeisanimportantmathematicaltool.Itcansolvemanymathematicalproblems.Suchastheuseoftheinfinitivelimitofthederivativeandtheuseofderivativefunction(suchastheuseofderivativemonotonicity,theuseofextremevalueandthemostvalueofthederivativefunction,thederivat

4、ivefunctionofthebumpandtheinflectionpoint).Inaddition,thederivativeisalsowidelyusedineconomicanalysisasthephysicalaspectsof.Keywords:Derivative;Application;Limit;Function;Marginalanalysis;Elasticanalysis;Physical19引言导数在解题中处于重要地位，它是衔接初等高等数学中的重要知识.它为解决更多数学问题提供了方法.本文从导数在研究不定式极限、研究函数相关问题以及经济分

5、析和物理中的应用方面进行探究.显然导数的应用不仅限于数学它还应用于其它学科，因此，对于导数的应用进行研究是非常有意义的.1微分中值定理微分中值定理在微积分中占有重要地位,它提供了导数应用的基本理论依据.微分中值定理包括罗尔(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理及泰勒(Taylor)公式.费马(Fermat)定理定理1.1设函数在点的某邻域内有定义,且在点处可导.若点为的极值点,则必有.罗尔中值定理定理1.2设函数满足1)在闭区间上连续；2)在开区间内可导；3),则至少存在一点,使得.证因为函数在闭区间上连续，所以它在上一定存

6、在最大值和最小值，下面分两种情形来讨论：（1）若，则在上恒为一个常数，于是在区间内恒有，此时定理结论显然成立.（2）若，因为，所以和中至少有一个不等于端点的函数值.不妨设，则在内至少有一点，使得.于是对于内的任意，都有19所以当时，；而当时，.进一步由存在且等于其左右极限及极限的保号性可知：因此，必定有.拉格朗日中值定理定理1.3设函数满足1)在闭区间上连续；2)在开区间内可导；则至少存在一点,使.推论1若在内恒等于零,则在内必为某常数.推论2若在内恒有,则有,其中为某常数.例1.1当时,试证不等式.证由于,因此,而,从而可取19则在区间上满足拉格朗日中值定理,因此知必定

7、存在一点,使得.由于,,因此有,.由于,因此进而知即.柯西中值定理定理1.4设函数与满足:1)在闭区间上都连续;2)在开区间内都可导;3)和不同时为零;4),则存在,使得.泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式19设函数在含的某区间内具有直至阶导数,则当时有常称为泰勒展开式中的佩亚诺型余项.带有拉格朗日型余项的泰勒公式泰勒定理定理1.5若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得其中(介于和之间)常称为泰勒展开式中的拉格朗日型余项.通常称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.2导数在研究不定式极