《导数定义的应用》word版

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1、导数定义的应用杨文摘要通过实例讨论导数定义式在计算中的应用，有助于理解和应用导数概念.关键词导数;定义;应用;连续;分段函数0引言导数是微分学中一个很基本的概念，它形式上虽然是一个简单的极限式子，同时还有具体的几何和物理意义，但还是相对抽象，尤其是当定义式需要灵活变化时.深入理解导数的概念能够帮助我们很好地解题.1预备知识定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点+仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量,如果与之比当0时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,即.(1)令（1）中的时，则当时，因此（1）式又可

2、写为.(2)令，则得到（3）式.(3)显然，导数概念说到底是一种特殊极限，它同连续概念（也是种特殊极限）一样，都是描述在某一点的性态.由于求的是极限值，故由左，右极限的定义，可引出左,右导数的定义：，.-10-显然在某些点处（如分段函数），必须分别讨论左右导数的存在性，然后再断定函数的可导性.2用导数的定义判断函数的可导2.1应用导数的定义求函数导数2.1.1函数可导性已知时，求导函数用导数的定义法可简化步骤例1已知，求[分析]对函数，如果先求，再求就会很麻烦，这里直接用导数的定义来求解会更方便.解2006.所以求可导函数在处的函数值，通常是先求这个函

3、数的导函数，再将代入，这是一般处理方法.然而，在本题情况下，不易求得，此时，我们可返回到导数的原始定义，直接利用函数在某一点的导数定义来求，就显得比较简单.2.1.2函数的可导性未知时，求导函数往往用导数的定义例2设函数在上连续，又，，对满足的一切，求.[分析]由于题设中没有说明的可导性，所以不能直接利用复合函数求导法则对求导，这里用导数的定义求.解不妨设，由于的连续性，所以存在>0,当<时，于是有====-10-==1.由的任意性知=.2.1.3求带绝对值符号的函数在分段点处的函数导数时，求导函数往往用导数的定义例3设=，求.[分析]由于分段函数在分

4、段点两侧的解析式不同，要求分段点处的导数值则显然要用定义来求.而含有绝对值的函数，先要去掉绝对值，再转化为分段函数，再考虑其可导性.解将函数=去掉绝对值，化为分段函数=，显然，当时,无定义.当时，=.当时，=，又=-1，==1.可知不存在.当时,=.当时,=，又，，可知也不存在.-10-综上所述，有=.2.1.4求分段函数在分段点的导数，往往用导数的定义例4已知函数,那么求.[分析]此题目是有间断点的分段函数，我们必须应用导数的定义对其分段讨论，判断其导数的存在性.解，.所以不存在，即的值不存在.2.2用导数的定义判断函数在某点的可导性2.2.1判断一

5、般函数某点的可导性例5判断函数在处是否可导.解，.则有.可见在处不可导.2.2.2判断带有绝对值函数的可导性判断绝对值函数在其零点的可导性，我们通常以此点为分界点，转化为分段函数，再利用导数的定义判断是否可导.例6设，其中在点连续，试问在什么条件下在处可导.[分析]先去掉绝对值符号，再利用在处可导，即可判断结果.-10-解由于，则有0，，，由于存在的充要条件是.若要存在，必须=，即=0，此时=0.例7判断函数在点处是否可导？解，由导数的定义可知，.因为，所以在处不可导.2.2.3判断分段函数的可导性例8讨论函数在处的可导性.[分析]函数为分段函数，且在

6、连续，则我们只需要判断函数在处是否导数存在，即左导数等于右导数.解1，1.则有1.所以函数在处可导，且.2.3用导数的定义求函数极限显然导数的定义是型函数的极限，因此当所求极限的形式与导数定义式相似时，-10-可考虑通过变形后转化为导数的定义的形式，再进行求解.例9求.[分析]对于求此型函数极限用洛比达法则求极限比较麻烦，我们考虑变形后用导数的定义求解.解====102.例10求解===sin.例11设在处可导，且，试求.[分析]对于求此型函数极限，若用洛比达法求极限需要在处具有连续的导数，因此我们考虑用导数的定义解题.解==2.2.4利用导数定义解函

7、数方程-10-此类题目中一般出现“函数在某个区间上有定义，且存在”在附加一些其他条件.如果类似于下题中求，总是：先由附加条件求出，再由导数定义写出，最后求出.例12设在上有定义，且，又对任给有求，求.[分析]本题不能直接从已知条件中求出，必须先由附加条件求出，再用导数的定义求出，最后积分求出.解在中，令，得，则，.即=，积分得，令，于是，则，因此.2.5题中有形如时，可考虑由导数的定义式及函数的连续性求某些结果例13设且，证明：.[分析]由二阶可导，知连续.又，故有=.=0及.由已知条件连续，可推得隐含的条件0，.解根据以上讨论，的带拉格朗日型余项的一

8、阶泰勒公式为-10-（在0与之间）.由，便得=.3导数定义法与其他方法的综合应用导数的定义在题