高中数学 3.2一元二次不等式及其解法导学案（含解析）新人教版必修5

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1、第三章第二节：一元二次不等式及其解法学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。掌握一元二次不等式的解法及步骤。学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。知识链接：一元二次不等式的概念[提出问题]观察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：上述三个

2、不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.[导入新知]1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.[化解疑难]1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次

3、的系数不能为0.2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.一元二次不等式的解法[提出问题]已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标提示：(0,0)、(2,0)问题2：一元二次方程根是什么？提示：x1＝0，x2＝2.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？提示：x＞2或x＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？提示：能，不等式的解集为{x

4、

5、x＞2或x＜0}，{x

6、0＜x＜2}．[导入新知]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集∅∅[化解疑难]一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的

7、一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．一元二次不等式的解法[例1]　解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－≥0；(4)－x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0.[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x

8、x＞－，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x

9、－1≤x≤5}．(3)原不等

10、式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.[类题通法]解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函

11、数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．[活学活用]1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x

12、x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为