高中数学必修5自主学习导学案：3.2一元二次不等式及其解法

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1、3.2一元二次不等式及其解法（教师版）1．利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根R以二次函数为例：(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．(3)当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解集是．　当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解集是．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称

2、两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．※典型例题考点1．一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－≥0；(4)－x2＋3x－5>0；(5)－2x2＋3x－2<0.分析：可先对不等式作等价变形，将二次项系数化为正，并使不等号一边为0，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的

3、图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x

4、－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.归纳小结：若，是一元二次方程的两个根，且，则有：（1）（

5、2）或变式1．求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6；(4)－x2＋2x－>0；(5)4x2－18x＋≥0.解：(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，∴原不等式的解集为{x

6、x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，∴x＝.∴4x2－4x＋1≤0的解集为{x

7、x＝}．(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x

8、1

9、<0，∵3>0，Δ＝36－24＝12>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，∴原不等式的解集是{x

10、1－

11、代入方程得，，解得，∴不等式为，解得或．∴不等式的解集为．变式1．设一元二次不等式的解为，则的值是（）A．B．C．D．解：C考点3．可化为一元二次不等式的分式不等式的解法【例3】解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.分析：将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元二次不等式组．解析：(1)原不等式可化为，解得，∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)法一：原不等式可化为或解得或，∴－30，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3

12、0.解：（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．解集为．（2）原不等式可化为(x＋3)(3－2x)≥0，且3－2x≠0，∴(x＋3)(2x－3)≤0，且x≠.∴－3≤x<.∴原不等式的解集为.变式2．解下列不等式（1）（2）（3）解：（1），所以原不等式的解集为．（2），所以原不等式的解集为．（3），所以原不等式的解集为．考点4．含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于的不等式：．解：原不等式对应的一元二次方程为：，，当时，，原不等式无