《极限理论》word版

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1、数学分析选讲第一章极限理论§1极限初论一、基本内容1.预备知识(1)函数的定义，构成函数的要素：定义域、对应法则，函数的值域，反函数，函数的四则运算与复合运算.(2)函数的几何特性①有界性有界与无界的定义.②单调性单调递增与递减的概念.③奇偶性奇偶函数的定义及其图象的对称性，奇偶函数的四则运算性质.④周期性周期函数的定义及其函数图象特征，基本周期.(3)初等函数初等函数在其定义区间上连续.(4)几个重要的非初等函数①符号函数，显然有.②取整函数和尾数函数为的最大整数部分，为的非负小数部分，显然有且③Dirichlet函

2、数:.④Riemann函数：.2.数列与函数极限的定义(1).(2)在的任一领域之外仅含数列中的有限项.(3).(4)有界数列与子列的概念.(5).(6)，，，和的定义，上述一系列定义中的极限为或的情形.(7)无穷大、小量，高阶、同阶及等价无穷小量的概念.3.收敛数列与函数极限的性质收敛数列有有界性、唯一性、保号性、保不等式性、迫敛性、子列等方面的性质.函数极限的性质有局部有界性、唯一性、局部保号性、局部保不等式性、迫敛性、归结原则等方面的性质.无穷小量的运算性质和等价无穷小量在四则运算方面的性质.4.数列与函数极限的

3、存在性数列极限的单调有界定理和柯西收敛准则.函数极限的单调有界定理和柯西收敛准则、归结原则.二、难点解析与重要结果1．一个数集无上界就是没有上界，也即任何实数都不是它的上界2．在关于原点对称区间上有定义的函数必可表示成一个奇函数与一个偶函数的和.3．两个周期函数周期之比为有理数时，则它们的和、差、积、商还是周期函数.4．是以任一有理数为周期的周期函数，且无最小正周期.5．仅在处连续，在其它点处都不连续.类似的仅在处连续，在其它点处都不连续.6．在中的任一无理数点处连续，任一有理数点处不连续.7．在上可积，且其积分值为.

4、8．为上在任一点的任一邻域内无界的函数.9．定义（1）中的具有双重属性，任意性用来保证与之间的距离可任意小，相对稳定性用来寻找，相应于产生，但不是的函数.在定义中添加条件,则定义没有发生变化，此时唯一决定于，即为的函数，只不过在按照定义证明问题时的难度变大了.10.定义（1）和（2）分别从定量和定性两个方面刻画了数列以为极限的事实,在证明极限时多使用定义（1），但有时使用定义（2）来证明会更简捷.例如，证明：若，则.11.以或为极限的数列是一类特殊数列，要注意它与发散数列和无界数列之间的区别与联系.一般地，趋于无穷的数

5、列必无界，无界数列未必趋于无穷，但无界数列必有趋于无穷的子列，无界且非无穷大数列必既有收敛子列又有趋于无穷的子列.函数的无穷大量与数列有类似的性质.12.定义（5）中的与定义（1）中的的性质类似.13.的定义将反过来,在的定义中,对所有的都能找到一个，使得当时有成立,将上面的陈述反过来即为,有这样的一个,找不到满足要求的,即所有的均不满足要求,也即对所有的都能找到,这个依赖于,满足,但有.一般地，由可得，数列的一个子列，使得.14.的定义为，使得，但有.一般地，由可得，存在数列使得，但有.15.有界数列不一定收敛，但有

6、界数列至少有两个收敛于不同极限的子列；任何数列必有单调子列.16.由保号性的证明知若；进一步地有.17.迫敛性与定义之间的联系，极限的定义中在寻找时由于不一定要求最小（大）的可以对不等式进行适当的放大，且一般是双侧同时放大，而迫敛性告诉我们在放大时也可以两侧分别放大.18.单调数列收敛的充分必要条件是它有一收敛子列.19.归结原则的条件可减弱为：存在的充分必要是任一严格递增趋于的数列，其对应的函数值组成的数列均收敛.20.由柯西收敛准则的逆否命题知,若数列发散,则,存在的两个子列和使得.若不存在,则,存在,但21.若，

7、则.22.若，且，则.23.设均为正实数，则.24.Stolz公式设严格递增，为任一数列，且，若，则.设严格递减，且，若，则.25.，，，，.26.等价无穷小量的来源主要为taylor公式和函数的幂级数展开式.三、基本题型与方法1．用极限的定义证明极限（1）直接解不等式（），得最小（大）的.（2）有时直接解不等式较困难，由于定义中没要求求最小的，故可将进行适当的放大，如，然后解不等式得，一般地不是最小的，但最小的是存在的。（3）分步放大；有时直接放大有一定的困难，特别在已知一极限的基础上再证明另一极限的问题中，常需进行

8、多次地放大。[注]在证明极限的过程中常用到的几个著名的不等式：(1)Bernoulli不等式：当时，,有.(2)Cauchy-Schwarz不等式：,总有.(3)平均值不等式：，总有.(4).例1用极限的定义证明下列极限(1).(2).(3).证明(1)由于，若，即，且，即，所以，当时，我们有.所以，，当时，有.所以，.(2)令所