《曲线积分》word版

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1、教学内容批注第十章曲线积分与曲面积分§10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为m(x,y).求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段,Ds1,Ds2,×××,Dsn(Dsi也表示弧长);任取(xi,hi)ÎDsi,得第i小段质量的近似值m(xi,hi)Dsi;整个物质曲线的质量近似为;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn}®0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究

2、其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,×××,Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为Dsi,又(xi,hi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(xi,hi)Dsi,(i=1,2,×××,n),并作和,如果当各小弧段的长度的最大值l®0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.教学内容批注设函数f(x,y

3、)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2,×××,Dsn,并用Dsi表示第i段的弧长;在每一弧段Dsi上任取一点(xi,hi),作和;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn},如果当l®0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定f(x,y)在L上是连续的.

4、根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值,其中m(x,y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:.如果L(或G)是分段光滑的,则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作.教学内容批注对弧长的曲线积分的性质:性质1设c1、c2为常数,则;性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则;性质3设在L上f(x,y)£g(x,y)

5、,则.特别地,有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x,y),则曲线形构件L的质量为.另一方面,若曲线L的参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),则质量元素为,曲线的质量为.即.教学内容批注定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),其中j(t)、y(t)在[a,b]上具有一阶连续导数,且j¢2(t)+y¢2(t)¹0,则曲线积分存在,且(a

6、限a一定要小于上限b.讨论:(1)若曲线L的方程为y=y(x)(a£x£b),则=?提示:L的参数方程为x=x,y=y(x)(a£x£b),.(2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d),则=?提示:L的参数方程为x=j(y),y=y(c£y£d),.(3)若曲G的方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)(a£t£b),则=?提示:.例1计算,其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2(0£x£1),因此.教学内容批注例2计算半径为R、中心

7、角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1).解取坐标系如图所示,则.曲线L的参数方程为x=Rcosq,y=Rsinq(-a£q

8、数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.§10.2对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注教学内容批注