《第四章曲线积分》word版

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1、第四章曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用教学重点与难点：弧长曲线积分的计算教学内容：1.1对弧长曲线积分的概念与性质一、曲线形构件质量设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续AoxyB求构件质量。解（1）将分割（2），（3）（4）图4-1-1二、定义为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段，任取一点，作和，令，当时，存在，称此极限值为在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为:注意：（1）若曲线封闭，积分号（2）若

2、连续，则存在，其结果为一常数.（3）几何意义=1，则=L（L为弧长）（4）物理意义M=（5）此定义可推广到空间曲线=（6）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无关三．对弧长曲线积分的性质a：设，则=+b：=c：=。1.2对弧长曲线积分的计算定理设在弧上有定义且连续，方程（），在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=。说明：从定理可以看出（1）计算时将参数式代入，，在上计算定积分。（2）注意：下限一定要小于上限，<（∵恒大于零，∴>0）（3）：,时，=同理：，时，=(4)空间曲线：

3、，，，=例1计算曲线积分，其中是第一象限内从点到点的单位圆弧解(Ⅰ)：∴=图4-1-2(Ⅱ)若是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧（1）=+=+=+=图4-1-3(2)若：()==+(3)：，，==例2计算：所围成的边界解在上，=在上=图4-1-4在上=∴=+例3计算：解：图4-1-5，∴===或=∴===例4：围成区域的整个边界解=交点=+=+图4-1-6=+=+§2对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点、难点：对坐标曲线积分的计算教学内容：2.1对坐

4、标的曲线积分定义和性质一．引例变力沿曲线所作的功。设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移到点，受力，其中，在上连续。求上述过程所作的功解（1）分割先将分成个小弧段(2)代替用近似代替，近似代替内各点的力，则沿所做的功（3）求和（4）取极限令的长度二、定义设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列把L分成个有向小弧段设，点为上任意取定的点.如果当个小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作.类似地，如果的极限值总存在，则

5、称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标曲线积分，记作.即，说明（1）当在上连续时，则，存在（2）可推广到空间有向曲线上（3）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则=，=（4）设=，则=+此性质可推广到=组成的曲线上。2.2对坐标的曲线积分的计算定理设，在上有定义，且连续,当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且=注意（1）：起点对应参数，：终点对应参数不一定小于（2）若由给出（3）此公式可推广到空间曲线：，，：起点对应参数，：终点对应参数例1计算：：摆线，

6、从点到点。解原式====例2：（1）曲线（2）折线起点为，终点为.解（1）原式==（2）原式===1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关图4-2-1练习1计算，其中为（1）的抛物线上从到一段弧。（2）抛物线上从到的一段弧。（3）有向折线，这里依次是点，，(结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。)2计算从点到点的直线段3两类曲线积分的关系设有向曲线弧的起点终点取弧长为曲线弧的参数。则若在上具有一阶连续导数，在上连续，则=图4-2-2=其中，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与的方向一致，

7、又=∴=同理对空间曲线：=为在点处切向量的方向角，用向量表示：，为上处的单位切向量，为有向曲线元小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质2.对坐标的曲线积分的计算3.两类曲线积分的关系§3Green公式及其应用教学目的：理解和掌握Green公式及应用教学重点、难点：格林公式的应用教学内容：3.1Green公式1．单连通区域。设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分都属于。称为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图4

8、-3-1定理1（格林公式）设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=。为的取正向的边界曲线。证对既为型又为型区域：∵连续，=图4-3-2=：又=+=∴对于型区域，同理可证=∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用：在格林公式中，取，=∴说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立（2）记法=图4