《曲线积分实践》word版

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1、第二十章曲线积分实践课一疑难问题与注意事项1.定积分可看成第一型曲线积分的特例吗？答：不能，第一型曲线积分要求，但定积分中可能为负.2.第一型曲线积分与第二型曲线积分有什么区别和联系.答：区别：第一型曲线积分（对弧长的积分）意义是求曲线段物体质量，与方向没有关系．在用公式，其中计算时，一定要注意下限小于上限，最后曲线积分值为正.第二型曲线积分（对坐标的积分）意义是质点受力做功，与曲线的方向有关．在用公式其中，，表示从起点对应的参数变化到终点所对应的参数．计算时，首先确定起点所对应的参数，终点所对应的参数，然后起点参数作为下限，终点参数作为上限，这里注意不一定小于，积分值可正可负．联系：两类曲

2、线积分虽然有所不同，然而在规定了曲线的方向之后，这两者之间有着一定的联系：设为以弧长为参量的有向光滑曲线，且上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.以与分别表示切线方向与轴和轴正向的夹角，如果在上连续，则．3.第一型曲线积分的计算方法小结：1）先把的方程代入，然后利用（表示的整个弧长）计算．例求，其中是单位圆周．解注意，必须满足的方程，的整个弧长．2）利用计算公式．设有光滑曲线，函数为定义在上的连续函数，则．当曲线由方程表示，且在上有连续的导函数时，则．当曲线由方程表示，且在上有连续导函数时，则．设空间曲线的参数方程，，，则3）利用对称性．（1）若分段光滑曲线关于轴对称，在上为连续函数，为位于

3、轴右侧的弧段，则（2）若分段光滑曲线关于轴对称，在上为连续函数，为位于轴上侧的弧段，则（3）若关于直线对称，记位于直线上半部分区域为，则（4）若积分曲线关于具有轮换对称性，则．4.第二型曲线积分的计算方法小结：1）利用公式：设，，则．2）利用第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系．或其中，，为曲线孤上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦．3）利用格林公式（下一章讲）．三典型例题1.1）计算，其中是与相交的圆周．2）求，其中是球面与平面的交线．解1）由，得，于是．2）．2.计算，其中为星形线．解由关于轴对称，且被积函数奇，关于轴对称，且被积函数奇，于是，在由轮换性，设为在第一象限的部分，利用对称性

4、，．的参数方程为，，于是.3.设为曲线，求.解利用轮换对称性，得.4.，其中为圆周，直线以及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：：，：，：,，，，因此．5．计算第二型曲线积分．1）,其中为与轴所围的闭曲线,依顺时针方向；2）,其中为到的直线段．解1）看成两条曲线，，其中为上从点到点的曲线段，为轴上从点到点的直线段，即：，，．，，．则．2）的方向为，则的方程为令，则的参数方程为，．