高中数学 1.2.2空间中的垂直关系（1）学案 北师大版必修2

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1、辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学1.2.2空间中的垂直关系（1）学案北师大版必修2自主学习学习目标1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题．自学导引1．如果直线l与平面α内的________________________，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作________，直线l叫做____________________，平面α叫做________________，它们的唯一公共点叫做________．垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平

2、面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条________直线垂直，则这条直线与这个平面________．3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么________________________．4．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________．5．垂直于同一条直线的两个平面________．对点讲练知识点一　线面垂直的判定例1　如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面A

3、BC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.点评　(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件．作为直线与平面垂直的判定并不实用．变式训练1　如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD.知识点二　证明线线垂直例2　如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，

4、F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.点评　本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．变式训练2　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥AE.知识点三　直线与平面垂直的性质定理的应用例3　已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝

5、c.求证：AB∥c.点评　判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练3　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1.1．直线与平面垂直的判定方法：(1)定义，(2)判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．(3)如果两条平行直线中的一条垂直

6、于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化关系：线线垂直线面垂直．2．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.课时作业　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．下列命题中正确的个数是(　　)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线

7、；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．32．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)A．12B．24C．36D．484．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(　　)A．不存在与l垂直的直线B．存在一

8、条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任意一条直线都与l垂直5．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为(　　)①n⊥α；②m∥n；③m⊥n;④n⊥α.A．1B．2C．3D．4题　号12345答　案二、填空题6