（江苏专版）2016届高考数学一轮复习 6.3等比数列 理

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1、§6.3　等比数列考点1　等比数列的性质1.(2015课标Ⅱ改编,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=　　　　. 答案　42考点2　等比数列的运算和综合应用11.(2015天津,18,13分)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.解析　(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a

2、5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=.所以,{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得Sn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.12.(2015广东,21,14分)数列{an}满足:a1

3、+2a2+…+nan=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{an}的前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.解析　(1)当n=1时,a1=1;当n=2时,a1+2a2=2,解得a2=;当n=3时,a1+2a2+3a3=,解得a3=.(2)当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=4-,①a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-,②由①-②得,nan=,所以an=(n≥2),经检验,a1=1也适合上式,所以an=(n∈N*).所以数列{an}是以1为首项,为公比的等比

4、数列.所以Tn==2-.(3)证明:b1=1,bn=-·+·(n≥2).当n=1时,S1=1<2+2ln1.当n≥2时,bn=+·an=+·(Tn-Tn-1)=+·Tn-·Tn-1=·Tn-·Tn-1,所以Sn=1+·T2-1·T1+·T3-·T2+…+·Tn-·Tn-1=·Tn<2=2+2,以下证明++…+1),则h'(x)=-=>0(x>1),所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1)=0.所以lnx>1-(x>1),分别令x=2,,,…,,得ln2>1-=,ln>1-=,ln>1-

5、=,……ln>1-=.累加得ln2+ln+…+ln>++…+,即ln2+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]>++…+,所以++…+0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数Fn(x)=fn(x)-2在内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=+;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.解析　(1)证明:Fn(x)=

6、fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,则Fn(1)=n-1>0,Fn=1+++…+-2=-2=-<0,所以Fn(x)在内至少存在一个零点.又F'n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,故Fn(x)在内单调递增,所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)=0,即-2=0,故xn=+.(2)解法一:由题设,得gn(x)=.设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-,x>0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nxn-1-.若0xn-1+2xn-1

7、+…+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.若x>1,h'(x)0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明fn(x)