2016高考数学大一轮复习 13.2直接证明与间接证明学案 理 苏教版

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1、学案36　直接证明与间接证明导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以______________________为依据，逐步下推，直到推出所要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使________________和______________________为止．这

2、种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.2．间接证明反证法：假设原命题________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的________条件．(填“充分”、“必要”或“充要”)2．(2010·揭阳高三统考)用反证法证明“如果a>b，那么>”的假设内容应是__________________．3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是________．(填序号)．①

3、a－c

4、≤

5、a－b

6、＋

7、c－b

8、；②a2

9、＋≥a＋；③－<－；④

10、a－b

11、＋≥2.4．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系为____________________．5．(2010·东北三省四市联考)设x、y、z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，证明a，b，c中至少有一个不小于2.探究点一　综合法例1　已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.变式迁移1　设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.探究点二　分析法例2　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.变式迁移2　已知a>0，求证：－≥a＋－2.探究点三　反证法例3　若x，y都是正实数，且x＋

12、y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．式迁移3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想例　(14分)(2010·上海改编)若实数x、y、m满足

13、x－m

14、＞

15、y－m

16、，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.多角度审题　(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式

17、a3＋b3－2ab

18、>

19、a2b＋ab2－2ab

20、成立．证明时注意提取公因式及

21、配方法的运用．【答题模板】(1)解　由题意得＞1，即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－或x＞；由x2－1＜－1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．[4分](2)证明　由题意知即证＞成立．[8分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴＝＝＝(a－b)2，＝＝ab(－)2＝(a－b)2，[10分]即证(a－b)2－(a－b)2＞0，即证(a－b－a＋b)(a－b＋a－b)＞0，需证＞0，[12分]即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[14分]【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等

22、式是解决问题的关键．2．代数式

23、a3＋b3－2ab

24、与

25、a2b＋ab2－2ab

26、中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立

27、，即假定原结论的反面为真；(否定结论)(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(推导矛盾)(3)存真：由矛盾结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．(结论成立)(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”．假设内容应为_______________________________