高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式选学课堂探究学案新人教b版必修5

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1、2.1.2数列的递推公式（选学）课堂探究一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{an}的第n项an与项数n之间的关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的n依次取值1，2，3，…即可得到相应的项；

2、而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．名师点拨：递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{an}的通项公式为an＝．(2)你能比较例2中an与an＋1的大小吗？你能比较an与an＋2的大小吗？剖析：不能比较an+1与an的大小．当n为奇数时，an+2＞an；当n为偶数时，a

3、n+2＜an．题型一　由递推公式写出数列的项【例1】在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前六项．分析：通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项．解：a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33．反思：由递推公式写出数列的项的方法．(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计

4、算即可；(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二　由递推公式求通项公式【例2】已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)．(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②＝－进行累加与裂项相消即可求出{an}

5、的通项公式．解：(1)a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝．(2)由an＝an－1＋，得an－an－1＝(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋1＝＋＋…＋＋＋1＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N+)．反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的

6、项的形式．(2)累加法当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式an．(3)累乘法如果递推关系可以变形为an+1＝g(n)·an的形式，且g(n)能够求积，则可用累乘法求数列的通项公式．题型三　易错辨析【例3】数列{an}满足a1＝1，以后各项由an＋1＝an＋2(2n3－12n2＋22n－11)给出，写出这个数列的前4项，并写出其通项公式．错解：a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7．由此猜想，这个数列是正奇数从小到大排成的，∴an＝2n－1．错因分

7、析：猜想的结论并不都是正确的，必须证明其正确性，如当n＝5时，a5＝33，故通项公式不正确．正解：a2＝a1＋2(2×13－12×12＋22×1－11)，a3＝a2＋2(2×23－12×22＋22×2－11)，a4＝a3＋2(2×33－12×32＋22×3－11)，…an＝an－1＋2[2(n－1)3－12(n－1)2＋22(n－1)－11]，以上所有式子相加得an＝n4－10n3＋35n2－48n＋23．