2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用学案理

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1、2．9　函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解

2、题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)(3)当a>1时，不存在实数x0，使.(　　)(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经

3、济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)(　　)A．2015年B．2011年C．2010年D．2008年答案　B解析　设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)x1.992345.156.126y121.5174.04187.5

4、18.01A．y＝2x－2B．y＝(x2－1)C．y＝log2xD．y＝logx答案　B解析　由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快．∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，∴排除A，C，D，∴B中函数y＝(x2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1)(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿________千克．答案　解析　前10天满足一次函数

5、关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.答案　③　x2－8x＋17解析　(ⅰ)因为f(x)＝p·qx，f(x)＝log

6、qx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－，f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f(x)＝x2＋px＋q.(ⅱ)∵f(1)＝10，f(3)＝2，∴解得p＝－8，q＝17，∴f(x)＝x2－8x＋17，故答案为③；x2－8x＋17.题型1　二次函数及分段函数模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理一吨二氧

7、化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解　(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－＝－x2＋400x－80000＝