高中理科数学解题方法篇(值域与最值)

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1、函数的值域与最值贵阳市乌当中学数学组：李玉朝（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数的值域是，可知2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值如：函数的值域是，但,4、有的函数有最大值

2、但无最小值如：函数，，但5、有的函数有最小值但无最大值如：函数，，但6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合如：常数函数的值域是7、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。如：已知值域，只有，而9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域函数名函数解析式定义域值域一次函数RR二次函数R时，14时，反比例数指数函数R对数函数R正弦函数R【-1,1】余弦函数R【-1,1】正

3、切函数R（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y的不等式出来（以后者为重）如：已知函数，则此函数的值域是（）A、；B、；C、；D、法（一）：观察法【及时反馈】1、函数的值域是（）A、；B、；C、R；D、法（二）：反函数法ⅰ、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示：定义域值域原函数AC反函数CA由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求；②x、y互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】

4、14（1）、求函数的值域（2）、求函数的值域法（三）：分离变量法常用于求形如的函数的值域求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把化成“常量+”的形式来。【及时反馈】（1）、求函数的值域（2）、求函数的值域通过以上两题的值域的求解，你发现了什么？（形如的函数的值域是）（3）、已知函数的值域是，则a的值是法（四）：基本不等式法若a>0,b>0，则,【及时反馈】(1)、若a、b是正数且，则ab、a+b的取值范围分别是（2）、已知实数m、n满足mn>0,则的值（）A、有最小值但没有最大值；B、有最大值但没

5、有最小值；C、既有最大值也有最大值；D、没有最大值也没有最小值；①型，可直接用不等式性质，【及时反馈】求的值域（答：）②型，先化简，再用均值不等式，【及时反馈】14（2）求函数的值域（答：）③型，可用判别式法或均值不等式法，【及时反馈】求的值域（答：）在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针法（五）：配方法常用于二次型函数的最值与值域的求解。配方步骤：1、把二次项系数化为1；2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方；3、把前三项凑成完全平

6、方式。（一）、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解技巧1：通过配方后得到当时，；值域是当时，；值域是技巧2：求出对称轴，然后把对称轴带入原函数即得【及时反馈】（1）、求函数的最值与值域。（2）、求函数的最值与值域（要求配方后作出函数的图像）。（3）、求函数的最值与值域。（4）、求函数的最值与值域。（提示：分离变量后用配方法，当然还可以用判别式法处理本题。答案：）14（二）、带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解有两类：1、是求具体函数（即不含字母参数的）在闭区间上的最值与值域；技巧1：通过配

7、方后画出图形，由数形结合即可求解带有限制条件的二次函数图像的画法须注意以下几点：①对称轴；②开口；③顶点；④与坐标轴的交点注意：先画全图，后根据定义域加以取舍。技巧2：可不画图求出对称轴，然后看对称轴与区间的位置关系若对称轴包含在区间内，则把端点及对称轴处的函数值全求出来加以比较，最大者为最大值，最小者为最小值。若对称轴在区间外，则只需把端点处的函数值求出来即可最大者为最大值，最小者为最小值。【及时反馈】（1）、求函数的最值与值域。（2）、求函数的值域（答：[4,8]）；（3）、求函数在如下区间中的的

8、最值与值域。ⅰ、；ⅱ、；ⅲ、；ⅳ、（4）、求函数的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解）（5）、若，则函数（）A、有最小值，最大值-3；B、有最小值，最大值12；C、有最小值，无最大值；D、无最小值，有最大值12；2、是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题（即含字母参数的）。此时要分“轴在区间左；轴在区间右；轴在区间内”三种情况加以讨论【及时反馈】（1）、当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；（2）