高考数学一轮总复习 2.9 函数模型及其应用教案 理 新人教a版

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1、2.9　函数模型及其应用典例精析题型一　运用指数模型求解【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？【解析】已知本金为a元，1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r＝a(1＋r)3；　　　　⋮　　　　⋮x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝10000，r＝2.25%，x＝5代入上式

2、得y＝10000(1＋2.25%)5＝11176.8，所以5期后的本利和是11176.8元.【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x.【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是(　　)A.(1＋p)12－1B.(1＋p)12C.(1＋p)11D.12p【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A.题型二　分段函数建模求解【例2】在对口脱

3、贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2000元.(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱

4、贫？【解析】设该店月利润额为L，则由假设得L＝Q(p－14)×100－3600－2000，①(1)当14≤p≤20时，由L≥0得18≤p≤20，当20＜p≤26时，由L≥0得20＜p≤22，故商店销售价应控制在18≤p≤22之内.(2)当18≤p≤20时，L最大＝450元，此时，p＝19.5元.当20＜p≤22时，L最大＝416元，此时，p＝20元.故p＝19.5元时，月利润最大余额为450元.(3)设可在n年内脱贫，依题意得12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最少可望在20年后脱贫.【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建

5、立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义.【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则由y＞500知x＞4000，所以x×11%＝550⇒x＝5000，所以此人稿费为5000元.题型三　生活中的优化问题【例3】(2012湖北模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢

6、建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f

7、(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去).当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断.【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开

8、源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截