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《高考数学一轮复习 第五篇平面向量第3讲 平面向量的数量积教案 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1.考查平面向量数量积的运算.2.考查利用数量积求平面向量的夹角、模.3.考查利用数量积判断两向量的垂直关系.【复习指导】本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向量的垂直关系.基础梳理1.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向
2、;如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.2.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量
3、a
4、
5、b
6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
7、a
8、
9、b
10、cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.3.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的数量积.4.向量数量积的性质设a、b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a=a·e=
15、a
16、cosθ;(2)a⊥b⇔a
17、·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=
18、a
19、·
20、b
21、;当a与b反向时,a·b=-
22、a
23、
24、b
25、,特别的,a·a=
26、a
27、2或者
28、a
29、=;(4)cosθ=;(5)
30、a·b
31、≤
32、a
33、
34、b
35、.5.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.6.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则(1)a·b=x1x2+y1y2;(2)
36、a
37、=;(3)cos〈a,b〉=;(4)a⊥b⇔a·b=0⇔
38、x1x2+y1y2=0.7.若A(x1,y1),B(x2,y2),=a,则
39、a
40、=(平面内两点间的距离公式).一个条件两个向量垂直的充要条件:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.两个探究(1)若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角?(2)若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?三个防范(1)若a,b,c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.(2)数量积运
41、算不适合结合律,即(a·b)c≠a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,a(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等.(3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,与的夹角应为120°,而不是60°.双基自测1.(人教A版教材习题改编)已知
42、a
43、=3,
44、b
45、=2,若a·b=-3,则a与b的夹角为( ). A.B.C.D.解析 设a与b的夹角为θ,则cosθ===-.又0≤θ≤π,∴θ=.答案 C
46、2.若a,b,c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( ).A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)答案 D3.(2011·广东)若向量a,b,c满足a∥b,且a⊥c,则c·(a+2b)=( ).A.4B.3C.2D.0解析 由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.答案 D4.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于( ).A.9B.4C
47、.0D.-4解析 a-b=(1-x,4).由a⊥(a-b),得1-x+8=0.∴x=9.答案 A5.(2011·江西)已知
48、a
49、=
50、b
51、=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.解析 由
52、a
53、=
54、b
55、=2,(a+2b)(a-b)=-2,得a·b=2,cos〈a,b〉===,又〈a,b〉∈[0,π]所以〈a,b〉=.答案 考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中,M是BC的中点,
56、
57、=1,=2,则·(+)=________.[审题视点]由M是
58、BC的中点,得+=2.解析 如图,因为M是BC的中点,所以+=2,又=2,
59、
60、=1,所以·(+)=·2=-4
61、
62、2=-
63、
64、2=-,故填-.答案 -当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识.【训练1】如图,在菱形ABCD中,若AC=4,则·=________.解析 =+,故·=·(