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《高考数学(理)一轮复习教案第五篇平面向量第3讲平面向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com第3讲 平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，
2、a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
3、a
4、
5、b
6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
7、a
8、
9、b
10、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝
15、a
16、cosθ；(
17、2)a⊥b⇔a·b＝0；21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com(3)当a与b同向时，a·b＝
18、a
19、·
20、b
21、；当a与b反向时，a·b＝－
22、a
23、
24、b
25、，特别的，a·a＝
26、a
27、2或者
28、a
29、＝；(4)cosθ＝；(5)
30、a·b
31、≤
32、a
33、
34、b
35、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(
36、x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)
37、a
38、＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则
39、a
40、＝(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足
41、a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60
42、°.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知
43、a
44、＝3，
45、b
46、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )． A.B.C.D.解析 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.答案 C2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案 D3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
47、．A．4B．3C．2D．0解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案 D4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )．A．9B．4C．0D．－4解析 a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案 A5．(2011·江西)已知
48、a
49、＝
50、b
51、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析 由
52、a
53、＝
54、b
55、＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户
56、网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝.答案 考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(2011·合肥模拟)在
