高二数学 直线和平面平行的判定和性质同步教案 新人教a版

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1、高二数学同步辅导教材（第27讲）一、本讲进度第九章直线、平面、简单几何体9．4直线和平面平行的判定和性质二、主要内容1、直线和平面垂直的定义，判定及性质；2、三垂线定理及逆定理。三、学习指导1、直线和平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊位置关系。其定义为：该直线与平面内任意一条直线都垂直。也就是用线线垂直去定义线面垂直，体现了线线与线面关系的转化思想。若直线l和平面α垂直，符号表示为l⊥α。图形表示为：其中：l和α的交点称为垂足。直线l叫平面的垂线，平面α叫直线的垂面。注意概念中的“任意一条”可以用“所有条”代替，但不能用“无数条”代替。直线和平面垂直的判定有两种方法；一是定义，二是判定定理

2、。判定定理是用定义证明的。判定定理的证明充分运用了平面几何的知识，强调了平面几何知识是学好立体几何的基础。在证明过程中，构造了若干平面（等腰三角形）。直线和平面垂直的性质是定义，即：如果l⊥α，mα，则l⊥m。数学中概念的定义既可以作为判定定理使用，也可以作为性质定理使用。2、两个唯一性的命题。过一点和已知平面垂直的直线只有一条；过一点和已知直线垂直的平面只有一个。借助于反证法很容易得到证明。3、三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要定理之一。其用途是证明线线垂直。运用三垂线定理及逆定理的难点是具体问题中的变式图形。为了解决这个难点，首先要加深对课本上基本图形的认识，其次要找到一个基本平面（即

3、基本图形中的α），分清平面内的直线与平面的斜线，再次找平面的垂线，这是很关键的一步。三垂线定理及其逆定理实质上是把从线线垂直到线面垂直再到线线垂直的模式固定下来，其模式为：∵PA⊥α，A为垂足PO为α的斜线，O为斜足aα，a⊥AO∴a⊥PO课本P.23例4是一个很重要的真命题。与这个命题类似的还有：“若PA与AB、AC所成角相等，则PA在平面α上的射影为∠BAC的平分线。”4、课本P.24例5给出了求直线l外一点P到直线l距离的另一种方法，即利用三垂线定理构造直角三角形。具体步骤为：（1）作PO⊥α，O为垂足（2）作OH⊥l，H为垂足（3）连PH，则PH⊥l，PH长度为点P到l的距离。5、本

4、节主要方法有反证法、构造法、化归的思想等。四、典型例题例1、已知MN⊥a，MN⊥b，a、b为异面直线，a∥α，b∥α，求证：MN⊥α。分析：只要将a、b平移到α内去即可。设MN∩α=0，设a与O确定的平面交α于a’，则由线面平行的性质定理a∥a’设b与O确定的平面交α于b’，则b∥b’∵MN⊥a，a’∥a∴MN⊥a’同理：MN⊥b’∵a’∩b’=0，a’α，b’α∴MN⊥α例2、（1）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC。（2）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H为垂足，求证

5、：H为垂心。分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手（1）∵PA⊥PB，PA⊥PC∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC∵H为△ABC垂心∴BC⊥AH∵PA∩AH=A∴BC⊥平面PAH∴BC⊥PH同理：AB⊥PH∵AB∩BC=B∴PH⊥平面ABC（2）由（1）得：PA⊥BC∵PH⊥平面ABC∴AH为PA在平面ABC上的射影∵BC平面ABC，BC⊥PA∴BC⊥AH同理：AB⊥CH∴H为△ABC垂心注：本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题。在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与△ABC的垂心为同一点。例3、已知aα，a⊥b，b⊥α，求证：a∥α。分析：设法构造

6、经过直线a的辅助平面β，使得β与α相交，则只要证明a平行于交线即可。∵b⊥α∴b垂直于α内任一条直线又a⊥b由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行”，从把a、b转移到同一平面内着手。任取点A∈a，过A作b’∥b，设b’∩α=B，则b’⊥α（请同学们思考如何证明）设由a，b’确定的平面β交α于c，则b’⊥c∵a⊥b，b’∥b∴b’⊥a∵a，b’，c均在平面β内∴a∥c∴a∥α例4、正方体ABCD—A1B1C1D1中（1）求证：A1C⊥BD，A1C⊥C1D，A1C⊥B1A；（2）求证：A1C⊥平面BDC1；（3）设O是正方形BCC1B1的中心，求证：BC1⊥DO。分析：（1）

7、本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。考虑用三垂线定理及逆定理。在正方体A1B1C1D1—ABCD中，由每一个面都是正方形，利用线面垂直的判定定理，易证：AA1、BB1、CC1、D1D都与平面ABCD及平面A1B1C1D1垂直；AB、DC、A1B1、D1C1都与平面BB1C1C、平面AA1D1D垂直；A1D1、AD、B1C1、BC都与平面AA1B1B、平面CC1D1D垂直。这些垂直关系应熟记