高中数学 7.1直线的倾斜角和斜率（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料一、解析几何学的产生背景及其研究的基本问题在十七世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，曾促进了社会生产力的迅速发展，远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题，例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围.法国数学家笛卡尔由于亲自参加社会实践，重视对机械曲线的探讨，终于突破了用综合法研究静止图形的局限性，在他所著的《方法论》一书的附录《几何学》中引进了变数，开始用解析方法来研究变化的图形的性质.他的基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规

2、律的空间图形(点、线、面)同数量关系(坐标和它们所满足的方程)统一起来，从而把几何问题归结为代数问题来处理，运用这种坐标法，可以研究比直线和圆复杂得多的曲线，而且使曲线第一次被看成动点的轨迹.从此，由曲线或曲面求它的方程，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质，就成了解析几何学的两大基本问题.为纪念笛卡尔为数学发展所作的贡献，我们也把直角坐标系称为笛卡尔坐标系，把直角坐标系所表示的平面称为笛卡尔平面.在中学，我们只学习平面解析几何的基础知识.二、倾斜角与斜率概念剖析首先，对于倾斜角要注意以下三点：(1)由于我们已将角的概念作了推广，所以

3、要使坐标平面内每一直线有惟一的倾斜角，就只能以“取最小正角”作为对应法则.(2)上述定义是对于与x轴相交的直线作出的.凡与x轴平行的直线，都不具有向上的方向，所以应补充规定它们的倾斜角为0°.这时才可以说，坐标平面内每一直线有惟一的倾斜角.(3)当直线与x轴相交时，它的倾斜角的终边作为射线，它是朝着向上的方向的，所以倾斜角的范围是0＜α＜π.于是，对于坐标平面内所有的直线来说，倾斜角的范围是0≤α＜π.其次，对于斜率这一概念，应注意以下几点：(1)顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”.过去，我们在学习直角三角形时就已知道，斜坡坡面的铅直高度ｈ与

4、水平宽度l的比值i叫坡度；如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，那么i＝＝tanα；坡度越大α角越大坡面越陡，所以i＝tanα可以反映坡面倾斜的程度.现在我们学习的斜率k，等于所对应的直线(有无数条，它们彼此平行)的倾斜角(只有一个)α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度.实际上，“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的.(2)解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线，斜率可以直接通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单.如果只用倾斜角一个概念，那么它实际上相当于反正切arctank，难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复

5、杂.(3)坐标平面内，每一条直线都有惟一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.倾斜角是90°的直线(即x轴的垂线)没有斜率.在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论.三、概念辨析题判断下列命题的正确性：(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；(2)平行于x轴的直线倾斜角是0或π；(3)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞）；(4)过原点的直线，斜率越大越靠近y轴；(5)两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等.解析：命题(1)错误，如直线x＝1，倾斜角为，但是斜率不存在.命题(2)错误，由倾斜角的范

6、围0°≤α＜1８0°，可知平行于x轴的直线倾斜角为0°；命题(3)正确.可结合正切函数在［0，π）的图象说明；命题(4)错误，当倾斜角在［0，）范围内，斜率越大越靠近y轴，当倾斜角在(，π）范围内，斜率越大越靠近x轴非正半轴.命题(5)正确，由正切函数在［0，π）范围内的单调性可知.命题(6)错误.当两直线倾斜角为时，斜率不存在，也就不能说斜率相等.综上所述，命题(3)、(5)正确，(1)、(2)、(4)、(6)错误.四、参考例题［例1］直线l过点A（1，2），B（m，3），求l的斜率与倾斜角.分析：此题意在使学生熟悉直线的斜率公式，但由于点B

7、坐标中含有参数，故借此锻炼学生的分类讨论的意识，同时注重讨论的合理性与全面性.解：(1)先考虑此直线斜率不存在的情形，显然m＝1，此时l的倾斜角为；(2)若斜率存在，设此斜率为k，倾斜角为α，此时m≠1，k＝tanα＝，（ⅰ)当m＞1时，k＞0，倾斜角为锐角，α＝arctan；（ⅱ）当m＜1时，k＜0，倾斜角为钝角，α＝π＋arctan.［例2］平面上有相异的两点A(cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点的直线的斜率及倾斜角的范围.分析：根据A、B为相异两点可知cosθ≠0，则sin2θ≠1，故排除了经过A、B两点的直线斜率为0

8、或斜率不存在的情形，这一点对于正确求解直线斜率及倾斜角的范围具有关键性作用.解：∵A、B相异两点，∴cosθ≠0，此时sin2θ≠1.故A、B两点的横