用函数的观点看数列 （ 刘若菡）

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1、用函数的观点看数列温州七中刘若菡设计立意及思路：数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。高考考点回顾1．与二次函数有关的等差数列的问题（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立

2、的最大自然数n是()(A)4005(B)4006(C)4007(D)4008（1992年全国高考试题）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。（1）求公差d的取值范围(2)指出S1，S2,...,Sn中哪一个值最大，并说明理由。（2002年上海春季高考题）设｛an｝(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S5(D)S6与S7均为Sn的最大值2．与函数的单调性有关的数列问题（2002年上海卷）已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5

3、，1）（1）求函数f(x)的解析式；（2）记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；（3）（文）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。（理）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。3.用函数观点解数列应用题基础知识梳理：1.关于等差数列{an}(1)通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。

4、公差d=是相应直线的斜率。当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{an}为常数数列。（2）求和公式Sn=na1+d,可以写成Sn=n2+(a1-)n。它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。从函数的角度理解，Sn=na1+d变形为Sn=n2+(a1-)n。当d≠0时，Sn是关于n的二次式，且常数项为零。此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn的增减变化及最值等问题。当d=0时，{an}是常数列，Sn=na1,此时，若a1≠0,则Sn是关于n的一次式；若a1=0,则Sn=0。1.关于等比数列{an}通项公式an=a1qn-1,可以写

5、成an=·qn(n∈N*)。当q>0且q≠1时，y=qx(x∈R)是指数函数，而y=·qx(x∈R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an=·qn(n∈N*)的图象是函数y=·qx(xR)的图象上的一群孤立点。很明显，若>0,当q>1时，数列递增；当0

6、S13求出a1与d的关系解法一设公差为d，由S5=S13,有5a+=13a1+由此得a1=-，而a1<0,故d>0,即{an}是首项为负数的递增数列。因此，当an≤0且an+1>0时，Sn有最小值，即需-+(n-1)d≤0,-+nd>0,解得0,所以Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn=(n2-18n)=(n-9)2-.由此可知，当n=9时，Sn最小。思路导引：既然sn是常数项为零的二次函数，那么，能否

7、结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn=n2+(a1-)n中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。（教师在画出的抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置解法三已知S5=S13，而Sn是n的二次函数（二次项系数>0）,由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n==9。所以，当n=9时，Sn最小。小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合