初三数学圆中成比例的线段知识精讲

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1、初三数学圆中成比例的线段知识精讲知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。精典例题：【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求：（1）BC的长；（2）⊙O的半径。分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得：即解得：，∴BC＝；（2）在Rt△ABC中，AC＝由

2、割线定理可得：∴∴【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。解：连结CE∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线∴又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP又∠P为公共角，△PAB∽△PCA∴∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900∴∴AC＝，AB＝又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB∴△ACE∽△ADB，∴∴【例3】如图，

3、AB切⊙O于A，D为⊙O内一点，且OD＝2，连结BD交⊙O于C，BC＝CD＝3，AB＝6，求⊙O的半径。分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。解：延长BD交⊙O于E，两方延长OD交⊙O于F、G，设⊙O的半径为∵BA切⊙O于A，∴∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6又，FD＝－OD，DG＝＋OD∴，OD＝2∴，探索与创新：【问题一】如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交⊙O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CM＝，连结AM，若CB＝3，DE＝8。探索：（1）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长

4、AM交⊙O于点N，连结NE，若△ACM∽△NEM，请问：EN与AB的大小关系。分析：如图1，由△ACM∽△NEM可得∠NEM＝900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明EN＝AB，结论就探索出来了。解：∵AB的垂直平分线CF交AB于C，CB＝3∴AB＝6，∠ACM＝900又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900连结BO并延长交EN于点G∵CB切⊙O于B，∴∠GBC＝900∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900∴四边BCEG是矩形∴∠EGB＝900，G为NE的中点∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB（2）如图，当M在射线EF上时，若

5、为小于17的正数，问是否存在这样的，使得AM与⊙O相切？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由。分析：先满足AM与⊙O相切，求出相应的值，看它是否是小于17的正数即可。解：当AM与⊙O相切于点P时，有MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6∵MC＝，AC＝3，∠ACM＝900∴AM＝，又MD＝MC－CD＝ME＝MC－CE＝，∴即，解得（已舍去）∵∴存在这样的正数，使得AM与⊙O相切。跟踪训练：一、选择题：1、PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝（）A、B、C、D、2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，A

6、D∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是（）A、60B、C、D、503、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是（）A、3B、5C、D、4、如图，PT切⊙O于T，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝（）A、10B、20C、5D、二、填空题：1、如图，PA切⊙O于A，PB＝4，PO＝5，则PA＝。2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的

7、延长线交AB于点M，若AB＝12，CD＝9，则MD＝。3、如图，⊙O内两条相交弦AB、CD交于M，已知AC＝CM＝MD，MB＝AM＝1，则⊙O的半径为。4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝，则AC＝。5、已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若，OP＝5，则⊙O的半径长为。6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝，BC＝，AC＝，半径为1.2的⊙O与AC、BC相切，且圆心O在斜边AB上，则＝。三、计算或证明题：1、如图，已知Rt△ABC是⊙O的内

8、接三角形，∠BAC＝900，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且