高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义知识巧解学案新人教a版必修4

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1、2.2.2向量减法运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作-a.对相反向量的把握要注意以下几点：(1)a与-a互为相反向量，即-(-a)=a.(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.(3)任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0.又如与互为相反向量，+=0.(4)如果a、b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.学法一得向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.二、向量减法1.a-b=a+(-b)，即

2、减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.像这种求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a-b.2.已知a、b，求作a-b.由(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a，可知a-b就是这样一个向量，它与b的和等于a.已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.这是向量减法的几何意义.图2-2-17(2)在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，求作a-b.图2-2-18在平面内任取一点

3、O，作=a，=-b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+(-b)=a-b.即a-b也可看作：从同一点O出发作向量a与-b为邻边作平行四边形，则从公共顶点O出发的对角线所对应的向量与a-b相对应.三、向量的位置与向量的减法1.已知a、b是从同一点出发的两个向量，从a的终点到b的终点作向量，那么所得的向量是b-a.2.当a∥b时,图2-2-19中(1)(2)给出了已知向量a、b，只需在平面上任取一点O，作=a，=b，则即为所求向量a-b.如图2-2-20所示.图2-2-19图2-2-20记忆要诀我们在求两向量a、b的和向量时，常按规

4、律“两向量首尾(起点与终点)相接”求解，求向量a、b的差向量时，常按规律“起点重合，由减数向量的终点指向被减数向量的终点”来求解.四、向量的加、减法与平行四边形ABCD中，若设=a，=b，则两条对角线都可以用a与b表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.在平行四边形中，改变一些条件，会得到不同的结论，可以帮助我们进一步加强对向量计算的理解.图2-2-21变式训练1：当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直?变式训练2：当a、b满足

5、什么条件时，

6、a+b

7、=

8、a-b

9、?变式训练3：a+b与a-b可能是相等向量吗?变式训练4：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角?1.

10、a

11、=

12、b

13、，即ABCD为菱形时，对角线互相垂直.2.

14、a+b

15、=

16、a-b

17、，即ABCD的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.3.a+b与a-b不可能相等，因为ABCD的对角线方向不同.4.当

18、a

19、=

20、b

21、时，对角线平分a与b所夹的角.典题•热题知识点一向量的减法例1填空：(1)=_________;(2)=_________；(3)=_________；(4)=__

22、________;(5)=___________.思路分析：从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应.对于向量和的形式，若能利用相反向量转化成从同一点出发的两个向量的差，也可利用减法的几何意义去解.答案：(1)(2)(3)(4)(5)例2化简下列各式：(1);(2);(3);(4).解：(1)原式=()-()=-=0;(2)原式=()+()==;(3)原式=；(4)原式=.知识点二用向量加法与减法的运算求解例3已知向量a、b、c，如图2-2-22所示，求作向量a-b+c.图2-2-22思路分析：在平面内

23、任选一点O，先把a与b的起点移至O点，求a-b，再求(a-b)+c.解：如图2-2-23，在平面上任取一点O，作=a，=b，则BA=a-b.再作=c，并以、为邻边作BADC，则=a-b+c.图2-2-23知识点三向量减法与三角形法则、平行四边形法则例4已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于()A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c思路分析：如图2-2-24，点O到平行四边形的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，结合图形有=a+b-c.图2-2-24答案：C例5如

24、图2-2-25，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：(1);(2)=0.图2-2-25思路分析：解题的关键，一是利用D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点的条件，二是合理地选取向量加法的三角形法则和平行四边形