高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案新人教a版必修4

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1、2．2.2　向量减法运算及其几何意义1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．3．能够化简含有向量的式子．1．相反向量定义如果两个向量长度______，而方向______，那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a＋(－a)＝____②若a，b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝____③零向量的相反向量仍是零向量相反向量类似于实数中的相反数，它们的性质有相似之处．【做一做1】非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)A．m＝nB．m＝－nC．

2、m

3、＝

4、

5、n

6、D．方向相反2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________作法在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝____.如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的______指向向量a的______的向量①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．②以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－

7、a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．【做一做2－1】在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)A．a＋bB．a－bC．－a－(－b)D．－a＋(－b)【做一做2－2】四边形ABCD是边长为1的正方形，则

8、－

9、＝________.答案：1．相等　相反　0　－b　0【做一做1】A2．相反向量　　终点　终点【做一做2－1】C　＝－＝－＋＝－a＋b＝－a－(－b)．【做一做2－2】　

10、－

11、＝

12、

13、＝＝.1．化简－剖析：根据解题经验，－的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把自己写出来的结果通过向量加法的三角

14、形法则验证．假设－＝，由向量加法的三角形法则，知＋＝，所以－＝是错误的，应该是－＝.为了防止出现类似错误，通常画图，利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证．设－＝m，则＝＋m，由于m等于和中的一个向量，＋≠，仅有＋＝，所以－＝.2．

15、a－b

16、，

17、a

18、－

19、b

20、，

21、a

22、＋

23、b

24、三者的大小关系剖析：当向量a与b共线时，(1)当两非零向量a与b同向时，

25、a－b

26、＝

27、

28、a

29、－

30、b

31、

32、＜

33、a

34、＋

35、b

36、；(2)当两非零向量a与b反向时，

37、a－b

38、＝

39、a

40、＋

41、b

42、＞

43、

44、a

45、－

46、b

47、

48、；(3)当a与b中至少有一个为零向量时，

49、

50、a－b

51、＝

52、

53、a

54、－

55、b

56、

57、＝

58、a

59、＋

60、b

61、.当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，＝a，＝b，则＝－＝a－b，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得

62、

63、a

64、－

65、b

66、

67、＜

68、a－b

69、＜

70、a

71、＋

72、b

73、.综合可知，对任意的向量a与b都有

74、

75、a

76、－

77、b

78、

79、≤

80、a－b

81、≤

82、a

83、＋

84、b

85、.只有当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，

86、

87、a

88、－

89、b

90、

91、≤

92、a－b

93、中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，

94、a－b

95、≤

96、a

97、＋

98、b

99、中的等号成立．题型一向量加(减)法的作图【例1】如图所示

100、的向量a，b，c是不共线的向量，求作向量a＋b－c.分析：向量(加)减法作图的依据是三角形法则，先观察各向量的位置，再寻找或构造相应的平行四边形或三角形，最后依据几何意义确定其图形表示．反思：向量的加法与减法运算有“三角形法则”和“平行四边形法则”．运用“三角形法则”求和向量时应“始、终相接，始指向终”；求差向量时应“同始连终，指向被减”．运用“平行四边形法则”时，和向量对应公共起点的对角线，求差向量时应“终点相连，指向被减”．(如图)若题设或结论中出现两个向量的和差问题的相关计算，要善于运用向量加法、减法的两个法则求解．题型

101、二化简【例2】化简下列各式：(1)－＋－；(2)＋＋－.分析：灵活应用结论＋＝和－＝来化简．反思：满足下列两种形式可以化简：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用．【例3】已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有__________．①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.反思：在向量的减法中，无论是作图还是化简都必须考虑起点是否相同，差向量的起点和终点顺序不能颠倒．答案：【例1】作法一：在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图

102、①所示，再作＝c，则a＋b－c为.　　图①　　　　　　　　图②作法二：在作出＝a＋b的基础上，可以在点B作＝c，则＝a＋b－c，如图②所示．【例2】解：(1)－＋－＝＋＝0.(2)＋＋－＝＋＝0.【例3】①　－＋＝＋＝；＋＝＋＝≠；－＝≠；＋＝≠.1．下列四式不能化简为的是(