高中数学第二章基本初等函数ⅰ2.3幂函数互动课堂学案新人教a版必修1

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1、2.3幂函数互动课堂疏导引导一、幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中,x是自变量,α是常数.疑难疏引1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:(1)当指数n是正

2、整数时,定义域是R.(2)当指数n是正分数时,设n=(p、q是互质的正整数,q>1),则xn=x=.如果q是奇数,定义域是R;如果q是偶数,定义域是［0,+∞).(3)当指数n是负整数时,设n=-k,xn=,显然x不能为零,所以定义域是{x

3、x∈R且x≠0}.(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则xn==.如果q是奇数,定义域是{x

4、x∈R,且x≠0};如果q是偶数,定义域是(0,+∞).3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=ax中,指数是自变量,而幂函数y=xα

5、中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.二、幂函数的图象和性质如图所示,幂函数有如下性质:1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);2.如果a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;3.如果a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.疑难疏引研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=x的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2

6、、y=x-3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数y=xn(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线

7、型;00)单调递减且3.14<π,∴3.14>π.(2)由于y=x-这个幂函数是奇函数,∴f(-x)=-f(x).因此,(-)-=-(

8、)-,(-)-=-()-.而y=x-(x>0)单调递减,且<,∴()->()--()-<-()-,即(-)-<(-)-.【溯源】幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式.三、幂函数的实际应用●案例2某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%,若两年下降的百分率相同,则每年下降的百分率为(　　)A.30%B.25.5%C.24.5%D.51%【探究】本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长

9、率公式的应用和参数的思想,题设中没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数.设t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则t+2年的成本为a(1-x)2,∴=51%,解得x=30%.因此,选A.【溯源】依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如何建立恰当的数学模型.活学巧用1.已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;④y=x-;⑤y=x0;⑥y=2x中,是幂函数的有.【思路解析】由于幂函数中,变量的系数是1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判断答案.另外特别注意幂函数和指数函