高中数学第二章基本初等函数ⅰ2.3幂函数课堂探究学案新人教a版必修1

高中数学第二章基本初等函数ⅰ2.3幂函数课堂探究学案新人教a版必修1

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1、2.3幂函数课堂探究探究一幂函数的概念形如y=xα的函数叫幂函数,这里需有:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.例如y=3x,y=xx+1,y=x2+1等均不是幂函数,另外还要注意与指数函数的区别,例如:y=x2是幂函数,y=2x是指数函数.【典型例题1】函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.思路分析:由已知f(x)=(m2-m-5)·xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,当m=3时,f

2、(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.探究二幂函数性质的应用比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较.【典型例题2】比较下列各组数中两个数的大小:(1)与;  (2)与;(3)与.思路分析:(1)利用的单调性比较大小;(2)利用y=x-1的单调性比较大小;(3)利用中间量比较大小.解:(1)∵幂函数在[0,+∞)上是增函数,又>,∴>.(

3、2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-<-,∴>.(3)∵函数为减函数,且>,∴>.又∵函数在[0,+∞)上是增函数,且>,∴>.∴>.探究三根据幂函数的性质求解析式【典型例题3】已知幂函数f(x)=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x的增大而减小,求f(x).思路分析:由f(x)在(0,+∞)上单调递减求出m的范围,再根据m∈N*且图象关于y轴对称,确定m的值,进而写出f(x).解:∵函数在(0,+∞)上单调递减,∴3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,∴m=1,2.又函数图象关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1,∴f(x)=x3×1-

4、9=x-6.探究四易错辨析易错点 因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解【典型例题4】若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围.错解:考察幂函数f(x)=x-1.因为该函数为减函数,所以由(a+1)-1<(3-2a)-1,得a+1>3-2a,解得a>.故实数a的取值范围是.正解:考察幂函数f(x)=x-1,由于该函数在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,且在(-∞,0)上有f(x)<0;在(0,+∞)上有f(x)>0,所以由(a+1)-1<(3-2a)-1,得或a+1>3-2a>0,或3-2a

5、函数f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,错解中错用了函数单调性,从而导致错误,此类问题的求解必须在各单调区间内分别进行,也可以结合函数的图象来考虑.

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