高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示第2课时课堂探究学案新人教a版必修1

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1、1.2函数及其表示课堂探究探究一列表法表示函数列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．【典型例题1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝

2、1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2.又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.∴x＝1.答案：1　1探究二求函数的解析式求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解．求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已

3、知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．【典型例题2】(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知f＝x2＋，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(x)；(2)将x2＋变形，使其变为关于x＋的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，再根据条

4、件列出方程组求出a，b，c的值．解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)f＝x2＋＝2－2，∴f(x)＝x2－2.(3)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，由恒等式性质，得∴∴所求二次函数为f(

5、x)＝x2－x＋1.探究三函数的图象函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象．1．作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．【典型例题3】作出下列函数图象并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，所以图象为一

6、直线上的孤立点(如图(1))，由图象知，y∈Z.(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))，由图象知，y∈[－5,3)．方法总结(1)中函数的图象是一些离散的点，故该函数的值域是各点纵坐标组成的集合．(2)中函数的图象是一条连续不间断的曲线，故该函数的值域就是图象上所有点纵坐标的取值范围．探究四易错辨析易错点　忽略变量的实际意义【典型例题4】如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．错解：由题意，得△CQB∽△BAP

7、，所以＝，即＝.所以y＝.故所求的函数表达式为y＝，其图象如图所示．错因分析：没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围，导致出错．正解：由题意，得△CQB∽△BAP，所以＝，即＝.所以y＝.因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，CB＝AD＝4，所以BD＝＝5，所以3≤x≤5，故所求的函数表达式为y＝(3≤x≤5)．如图所示，曲线MN就是所求的函数图象．反思从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．