高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示命题与探究 新人教a版必修1

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1、1.2函数及其表示典题精讲例1:判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;(2)y=与y=;(3)y=1+与u=1+;(4)y=x2与y=x;(5)y=2

2、x

3、与y=思路分析:此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.解:(1)不同,因为它们的定义域不同.前者的定义域是全体实数,后者的定义域是全体自然数.(2)不同,前者的定义域是{x

4、x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x

5、x≥2}.(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变

6、量取倒数后加1.(4)不相同,定义域是相同的,但对应法则不同,值域不同,前者的值域是{y

7、y≥2},后者的值域是{y

8、y∈R}.(5)相同,将y=2

9、x

10、利用绝对值定义去掉绝对值,结果就是y=2例2:如果f()=,则f(x)=___________.思路解析:函数解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.方法一:∵f()==,∴f(x)=(x∈R且x≠0,x≠±1).方法二:设t=,则x=,代入f()=,得f(t)=,∴f(x)=(x∈R且x≠0,x≠±1).答案:例3:作出下列函数的图象:(1)y=1-x,x∈Z;(2)y=2

11、x2-4x-3(0≤x<3);(3)y=

12、x-1

13、+

14、3-x

15、;(4)y=

16、x2-4x+3

17、.思路分析:(1)这个函数的图象是由一些点组成的,这些点都在直线y=1-x上.∵x∈Z,∴y∈Z,这些点称为整点.(如图1-2-2)(2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段弧.(如图1-2-3)(3)所给函数可写成分段函数f(x)=其图象是由两条射线与一条线段组成的折线.(如图1-2-4)(4)所给函数也可写成分段函数f(x)=其图象是由两条抛物线的两段组成的.(如图1-2-5)答案:(1)(2)图1-2-2图1-2-3(3)(4)

18、图1-2-4图1-2-5例4:下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？(1)A=R,B={x∈R

19、x≥0},对应法则是“求平方”;(2)A=R,B={x∈R

20、x>0},对应法则是“求平方”;(3)A={x∈R

21、x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面α内的圆},B={平面α内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.思路分析:只有(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0,在集合B中没有象.(3)不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任

22、何元素,在集合B中都有两个元素与之对应,象不唯一.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应,象不唯一.答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.例5:如图1-2-7所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.图1-2-7(1)写出y=f(x)的解析式,并求出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.思路分析:首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不

23、同的(如图1-2-8的阴影部分所示).图1-2-8可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.解:(1)分类讨论:①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知y=×10×x×sin60°=x,0≤x≤4.②当P点在CD上运动时,y=×10×2=10,4

24、10].例6:纵观历史,中国电信业的发展主要是在20世纪的后20年,尤其是90年代至今真正实现了电信的“起飞”.中国电话网规模从1995年的第4位提升为目前的第2位,进入世界前列.目前,中国的电话用户,特别是移动电话还在加速增长,截止到2001年9月,中国的电话用户达到3.03亿户,其中固定电话1.72亿户,移动电话达到1.31亿户.在2001年前9个月里,移动电话用户平均每个月新增500多万户,中国移动电话用户的总规模已超过美国,排世界第一位.中国每百人电话机普及率在80年代和90年代的年均增长率分别达到9%和30%左右.到2001年9