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《高中数学5.5利用不等式求最大小值5.5.1利用平均不等式求最大小值知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.5.1利用平均不等式求最大(小)值自主整理1.a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当_____________时取“=”.2.a、b∈R+,则≥,当且仅当_____________时取“=”.3.a1,a2,…,an∈R+,则≥,当且仅当_____________时取“=”.高手笔记1.已知和为定值,则乘积有最大值;已知乘积为定值,则和有最小值.2.函数取得最值必须等号成立,注意满足“正、定、等”三个条件.3.若平均不等式中等号取不到则考虑函数的单调性,利用单调性求得最值.4.注意在使用平均不等式时的变形技巧.名师解惑利用平均不等式求函数的最值应注意什么?剖析:利用平
2、均不等式求某些函数的最值时应注意以下几点:(1)函数式中各项是否都是正数.都是正数可以用平均不等式,若都是负数,也可通过提取负号将括号里的数变为正数,再利用平均不等式.(2)函数式中含变量的各项的和或积必须是常数,即为定值,并且各项都相等时才能取“=”,求出最值.否则需由函数的单调性求出.(3)在求函数的最值时,要注意选择适当的不等式进行变形,即要考察是否满足“正、定、等”这三个条件,有时为了满足条件需要先变形、构造,在变形过程中,可采用拼凑法,使所拆、拼的数要相等,以使能够取到等号,在解决问题时,还要注意自变量的取值范围,考察能否取到等号.讲练互动【例1】(1)已知x<,求
3、函数y=4x-2+的最大值;(2)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.分析:本题可用平均不等式求最值,但在使用平均不等式时要注意条件,(1)中x<则4x-5<0,可提取负号变为正值并构造积为定值,求出.(2)中=1是和为定值,但与x+y之间的联系并不直接,可采用整体代换,或构造、代入等方法求出.解:(1)∵x<,∴4x-5<0.∴y=4x-2+=-［-(4x-5)+］+3≤-2+3=1.当且仅当-(4x-5)=,即(4x-5)2=1时“=”能取到.∵x<,∴x=1时,ymax=1.(2)方法一:∵x>0,y>0且=1,∴x+y=(x+y)()=10+≥10+2=16
4、.当且仅当且=1时取“=”,∴x=4,y=12时,x+y最小为16.方法二:∵=1,∴(x-1)(y-9)=9(定值)且x>1,y>9.∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,(x+y)min=16.方法三:∵=1,∴x=.∵x>0,y>0,∴y>9.代入x+y,得x+y=+y=y+1+=(y-9)++10≥+10=16.当且仅当y-9=>0,即y=12,x=4时,x+y取最小值16.绿色通道本题在利用平均不等式求函数的最值时,采用拼凑法构造平均不等式,同时注意等号成立的条件“正、定、等”.特别(2)题中的不同的
5、构造都是以“正、定、等”为前提的,若用如下方法就不妥当:∵=1,∴≥.∴≥6.∴x+y≥2≥12,你知道为什么吗?变式训练1.(1)已知:x>0,y>0,x+y≤4,求的最小值;(2)设实数m、n、x、y满足x2+y2=3,m2+n2=1,求mx+ny的最大值.解:(1)∵x>0,y>0,∴+≥.又∵x+y≤4及x+y≥,∴≤2.∴≥.∴+≥1.当且仅当x=y=2时取“=”.∴+的最小值为1.(2)∵x2+y2=3,∴()2+()2=1.又m2+n2=1,∴mx+ny=(m·+n·)≤(+)=,当且仅当m=,n=时取“=”.即mx+ny的最大值为.【例2】已知x>0,求函数y
6、=x(1-x2)的最大值.分析:本题为乘积结构,需要构造“和”为定值,若将函数变为y=x(1-x)(1+x)=x(2-2x)(1+x),得到x+(2-2x)+(1+x)为定值,但所求出的不是最值.这是因为x,2-2x,1+x不能同时相等.为了构造和为定值,1-x2不能分开,只有将函数两边平方,把x的次数升高为二次,进一步利用平均不等式解出.解:∵y=x(1-x2),∴y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=·2x2(1-x2)(1-x2)≤·［］3=×()3=.∴y≤.当且仅当2x2=1-x2且x>0,即x=时,ymax=.绿色通道在利用平均不等式时,要学会构
7、造,求积的最值,需构造和为定值;求和的最值需构造乘积为定值,还需满足各项相等才可以.变式训练2.已知θ为锐角,求y=sinθcos2θ的最大值.解:y2=sin2θ·cos4θ=sin2θcos2θcos2θ=·2sin2θ·cos2θ·cos2θ≤·()3=×()3=,∴y≤,当且仅当2sin2θ=cos2θ=1-sin2θ,即sinθ=时取“=”.即ymax=.【例3】当0
