高中数学 第二章 直线的参数方程学案 北师大版选修4-4

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1、§2　直线和圆锥曲线的参数方程2.1　直线的参数方程1．掌握直线参数方程的标准形式，理解参数t的几何意义．2．能依据直线的几何性质，写出它的两种形式的参数方程，体会参数的几何意义．3．能利用直线的参数方程解决简单的实际问题．1．经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为________________．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是______________，可以用有向线段的数量来表示．【做一做1－1】经过点M(－2,3)，倾斜角为的直线l的参数方程是__________．【做一做

2、1－2】直线(t为参数)的倾斜角α等于(　　)．A．30°B．60°C．－45°D．135°2．经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为_________________．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M分有向线段的数量比.当______时，M为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，____________.直线的参数方程(λ为参数，λ≠－1)可以表示点Q(x1，y1)(λ＝0时)，但不能表示点P(x2

3、，y2)．如果遇到与点P(x2，y2)有关的问题时，可对点P进行单独检验．【做一做2】经过点Q(1,2)，P(3,7)的直线的参数方程为(　　)．A．(λ为参数，λ≠－1)B．(λ为参数，λ≠－1)C．(λ为参数，λ≠－1)D．(λ为参数，λ≠－1)由直线的参数方程求直线的倾斜角剖析：如果直线的参数方程是(t为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线(t为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为消去t，有y－1＝(x－1)，即y－1＝tan75°(x－1)，故倾

4、斜角为75°.第二种方法：把原方程化为标准形式，即可以看出直线的倾斜角为75°.答案：1．(t为参数)　从点P到M的位移【做一做1－1】(t为参数)　根据互化关系，参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．【做一做1－2】D　由参数方程知两式相加，得直线的普通方程x＋y＝1，倾斜角为α，则tanα＝－1，∴α＝135°.2．(λ为参数，λ≠－1)　λ＞0　点M与Q重合【做一做2】B　设直线PQ上动点M(x，y)，参数λ＝，则直线PQ的参数方程为(λ为参数，λ≠－1)．题型一参数方程与普通方程互化【例1】把下面直线的参数方程化为普通方程式，普通方程化为参数方程．(1)化

5、l1：x＋y－1＝0为参数方程；(2)化l2：(t为参数)为普通方程．分析：利用直线方程转化公式求解．反思：在(1)(2)中t的几何意义是不同的．在(1)中，t的几何意义是有向线段(其中M0为(1,0)，M(x，y)为直线l1上任意一点)的长．(2)中t的几何意义是(其中M0为(－3,1)，M(x，y)为直线l2上任意一点)长的一半．题型二直线的参数方程与倾斜角【例2】直线(t为参数)的倾斜角是(　　)．A．20°B．70°C．110°D．160°反思：只有在(t为参数)中，θ才表示直线的倾斜角．如果不是这种形式，则需要进行转化．题型三直线参数方程的应用【例3】已知

6、直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．反思：本题涉及普通方程和参数方程的互化，在解题过程中，注意参数t的几何意义的应用．答案：【例1】解：(1)令y＝0，得x＝1.∴直线l1过定点(1,0)，k＝－＝－.设倾斜角为α，则tanα＝－，α＝，cosα＝－，sinα＝.∴l1参数方程为(t为参数)．(2)原方程可化为把①代入②得y－1＝(x＋3)，即l2普通方程为x－y＋3＋1＝0.【例2】C　方法一：将原方程改写成消去t，得y＝tan110°(x－3)，所以直线的倾斜角为110°.方法二：将原参数

7、方程化为令－t＝t′，则所以直线的倾斜角为110°.【例3】解：∵l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是(t为参数)．即(t为参数)．①把①代入抛物线方程，得t2＋t－2＝0.解得t1＝，t2＝.由参数t的几何意义，得

8、AB

9、＝

10、t1－t2

11、＝，

12、MA

13、·

14、MB

15、＝

16、t1t2

17、＝2.1已知直线l的参数方程是(t为参数)，其中角θ的范围是，则直线l的倾斜角是(　　)．A．B．θC．D．π－θ2直线2x－y＋1＝0的参数方程为(　　)．A．(t为参数)B．(t为参数)C．(t为参数)D．(t为参数)3一条直线的参数方程是(t为参数)，则点(3,6)到这条直线