专题8 平面向量讲学案-216年高考理数二轮复习精品资料原卷版

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1、精品高考复习文档【2016考纲解读】高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用,试题一般为中档题,各种题型均有可能出现.预测2016年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点,重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力.【重点知识梳理】1.向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模为0,方向是任意的,记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量.(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.零向量和任一向量平行.2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共

2、线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.4.两向量的夹角已知两个非零向量a和b,在平面上任取一点O,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.5.向量的坐标表示及运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1).(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).6.平面向量共线的坐标表示精品

3、高考复习文档已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a与b共线.[来源:Z§xx§k.Com]7.平面向量的数量积设θ为a与b的夹角.(1)定义:a·b=

4、a

5、

6、b

7、cosθ.(2)投影:=

8、a

9、cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8.数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)当a与b同向时,a·b=

10、a

11、·

12、b

13、;当a与b反向时,a·b=-

14、a

15、·

16、b

17、;特别地,a·a=

18、a

19、2;(3)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、;(4)cosθ=.9.数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(

26、1)a·b=x1x2+y1y2;(2)

27、a

28、=;(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0;(4)cosθ=.【误区警示】1.两向量夹角的范围是[0,π],a·b>0与〈a,b〉为锐角不等价;a·b<0与〈a,b〉为钝角不等价.2.点共线和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别.3.a在b方向上的投影为,而不是.4.若a与b都是非零向量,则λa+μb=0⇔a与b共线,若a与b不共线,则λa+μb=0⇔λ=μ=0.【高频考点突破】考点一 正、余弦定理在解三角形中的应用例1、(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=as

29、inA,则△ABC的形状为(  )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定精品高考复习文档(2)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.①求;②若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【规律方法】1.解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:已知条件[来源:学*科*网Z*X*X*K]应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理求出b与c;S△=acsinB,在有解时只有一解两边和夹角(如

30、a,b,C)余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角.S△=absinc,在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A,B,再利用A+B+C=180°求出角C.S△=absinC,在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°求出角C;再利用正弦定理求出c边.S△=absinC,可有两解、一解或无解[来源:学科网]2.确定三角形的形状主要的途径及方法途径一:化边为角途径二:化角为边主要方[来源:Z#xx#k.Com]法(1)通过正弦定理

31、实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状【变式训练】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )A.3B.C.D.3精品高考复习文档考点二 正、余弦定理的实际应用例2、(2015·湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.【规

32、律方法】 应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程(

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1、精品高考复习文档【2016考纲解读】高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用,试题一般为中档题,各种题型均有可能出现.预测2016年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点,重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力.【重点知识梳理】1.向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模为0,方向是任意的,记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量.(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.零向量和任一向量平行.2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共

2、线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.4.两向量的夹角已知两个非零向量a和b,在平面上任取一点O,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.5.向量的坐标表示及运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1).(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).6.平面向量共线的坐标表示精品

3、高考复习文档已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a与b共线.[来源:Z§xx§k.Com]7.平面向量的数量积设θ为a与b的夹角.(1)定义:a·b=

4、a

5、

6、b

7、cosθ.(2)投影:=

8、a

9、cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8.数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)当a与b同向时,a·b=

10、a

11、·

12、b

13、;当a与b反向时,a·b=-

14、a

15、·

16、b

17、;特别地,a·a=

18、a

19、2;(3)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、;(4)cosθ=.9.数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(

26、1)a·b=x1x2+y1y2;(2)

27、a

28、=;(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0;(4)cosθ=.【误区警示】1.两向量夹角的范围是[0,π],a·b>0与〈a,b〉为锐角不等价;a·b<0与〈a,b〉为钝角不等价.2.点共线和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别.3.a在b方向上的投影为,而不是.4.若a与b都是非零向量,则λa+μb=0⇔a与b共线,若a与b不共线,则λa+μb=0⇔λ=μ=0.【高频考点突破】考点一 正、余弦定理在解三角形中的应用例1、(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=as

29、inA,则△ABC的形状为(  )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定精品高考复习文档(2)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.①求;②若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【规律方法】1.解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:已知条件[来源:学*科*网Z*X*X*K]应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理求出b与c;S△=acsinB,在有解时只有一解两边和夹角(如

30、a,b,C)余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角.S△=absinc,在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A,B,再利用A+B+C=180°求出角C.S△=absinC,在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°求出角C;再利用正弦定理求出c边.S△=absinC,可有两解、一解或无解[来源:学科网]2.确定三角形的形状主要的途径及方法途径一:化边为角途径二:化角为边主要方[来源:Z#xx#k.Com]法(1)通过正弦定理

31、实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状【变式训练】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )A.3B.C.D.3精品高考复习文档考点二 正、余弦定理的实际应用例2、(2015·湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.【规

32、律方法】 应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程(

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