.直线与平面垂直

《.直线与平面垂直》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.5直线与平面垂直【知识网络】1、直线与平面垂直的性质与判定；2、点到平面的距离，直线到平面的距离；3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。【典型例题】例1：（1）平面a过△ABC的重心，B、C在a的同侧，A在a的另一侧，若A、B、C到平面a的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为()（A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）3a=2(b+c)．答案：B解析：B、C中点到平面的距离为，∴即（2）已知正△

2、ABC的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有()（A）1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个．答案：C解析：三点在同一侧的有2个，过两边的中点且垂直第三边上的中线的平面有3个，共5个。（3）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）A、，若，则B、，，若，则C、，若，则D、，是在内的射影，若，则答案：C解析：C的逆命题是,若，则显然不成立。（4）已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是.答案：解析：显然，即平行四边形ABCD一定是菱形（5）P是△ABC所在平面外一点

3、，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的心．答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外心、垂心的性质可知。例2：已知中，面，，求证：面．答案：证明：又面面，又，面例3．如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线，CA^a于A，DB^b于B，a∩b=EF．求证：CD∥EF．δgbaFEDCBAB1A1答案：证明：设CD、CA确定平面g，g∩a=AA1．∵CA^a于A，∴CA^A

4、A1．又∵CA^CD，CA、CD、AA1都在平面g内，∴CD∥AA1．设CD、DB确定平面δ，δ∩b=BB1．同理有CD∥BB1，∴BB1∥CD∥AA1．AA1α，BB1α，∴BB1∥a．∵BB1b，a∩b=EF，∴EF∥CD．NMGFEDCBPAQ例4：如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB．求证：（1）GF^平面PBC；（2）FE^BC；（3）GE是异面直线PG与BC的公垂线．NMGFEDCBPAQ证明：（1）连结

5、BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在△PBM中，∵PF=PB，G是△PAB的重心，∴MG=BM，∴GF∥PM．又PA^PB,PA^PC，∴PA^平面PBC，则GF^平面PBC．（2）在EC上取一点Q使CQ=BC，连结FQ，又PF=PB，∴FQ∥PC．∵PB=PC，∴FB=FQ．∵BE=BC，∴E是BQ的中点，∴FE^BQ，即FE^BC．（3）连结GE．∵GF^平面PBC，∴易得GE^BC．取BF中点N，连结EN，则EN∥FQ∥PC．∵PC^平面PAB，∴EN^平面PAB．又∵NG∥DB，∴NG^PD，

6、易EG^PD，∴GE是异面直线PG与BC的公垂线．【课内练习】1．如果平面外一条直线与内的两条直线垂直，那么与的位置关系是（　　）A．l⊥aB．l∥aC．l与a相交且不垂直D．不能确定答案：D。解析：因两条直线的位置不能确定。2.若斜线和平面所成的角为a，此斜线与此平面内任一直线所成的角为b，则（）A.a≤bB.a=bC.a≥bD.a与b的大小关系不确定答案：A.解析：直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角.3．表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列推理错误的是（）A．B．C．D.A,

7、B,C∈α，A,B,C∈β，且A,B,C不共线α与β重合答案：C解析：作图分析即可知。4．AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60º角，OCÌa，AA＇⊥a于A＇，∠A＇OC=45º，则A到直线OC的距离是，∠AOC的余弦值是.答案：、；解析：由三余弦定理可得.5.已知△ABC中，AÎa，BC∥a，BC=6，ÐBAC=90°，AB、AC与平面a分别成30°、45°的角．则BC到平面a的距离为．答案：；解析：设BC到平面α的距离为h，则∴.6.AB∥CD，它们都在平面a内，且相距28．EF∥a，且相距15．

8、EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为．答案：25或39；解析：EF在α内的射影可以在AB、CD之间或在AB、CD的外面.PABCDNM7．已知：如图,PA^矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点．⑴求证：MN^AB；⑵若MN为AB、PC的公垂线，求PD与面ABCD的所成角。答案：：⑴连AC，取AC中点E，连ME、NE，则NE∥PA，NE^平面ABCD，∴NE⊥A