2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质学案

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1、第42讲　直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.2016·全国卷Ⅰ，182016·全国卷Ⅱ，192016·江苏卷，162016·浙江卷，18与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.分值：5～6分1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α

2、互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线__平行__⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)直线l与

3、平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．(　√　)(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交．(　×　)(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．(　×　)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　×　)解析(1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α.(2)正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．(3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．(4)错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另

4、一个平面，而不是任意一条直线．(5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　A　)A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α.又因为a⊂α，则a⊥b;如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　C　)A．α⊥β且

5、m⊂α　　B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β　　D．m⊥n，n⊂α且α∥β解析α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故B项不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β.故C项成立；m⊥n，n⊂α，且α∥β，知m⊥β不成立，故D项不成立，故选C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对．解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PCD⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7对．5．在三棱锥

6、P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA，则点O是△ABC的__垂__心．解析(1)若PA＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心；(2)由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，则PA⊥BC．又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．一　直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的

7、性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直．【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：直线AE⊥直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.解析(1)证明：由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，