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《2019版高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标43空间向量及其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第43讲空间向量及其运算[解密考纲]空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等．一、选择题1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是( A )A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1) D．(－8，－6,1)解析结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确．2．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( B )A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．无法判断解析∵＝＋＋，且＋＋＝1，∴A，B，C，P四点共面．3．已知a＝(2,3，－4)，
2、b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝( B )A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)解析∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b即x＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( B )A．9 B．－9C．－3 D．3解析由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，所以解得λ＝－9.5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则
3、( C )A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确解析由n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∵n1和n2不平行，∴α与β不平行；又∵n1·n2＝－6－3－20＝－29≠0，∴α与β不垂直．6．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且
4、
5、＝1，
6、
7、＝2，
8、
9、＝3，则
10、
11、＝( A )A．5 B．6C．4 D．8解析由题可得，＝＋＋，故2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos60°＝25，故
12、AC1
13、＝5.二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yO
14、z的垂线PQ，则垂足Q的坐标为__(0，，)__.解析依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝__＋＋__.解析由题意知＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋.9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则
15、
16、＝____.解析设P(x，y，z)，故＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x,3－y,4－z)，又＝2，则有解得∴P(－，，3)，∴
17、
18、＝＝.三、解答题10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，
19、E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.解析(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴，，共面．选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)
20、＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.11．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC．证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∴E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,
21、0,0)，＝(1,0,0)．(1)∵＝－，∴∥，即EF∥AB．又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．(2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴⊥，⊥.即AP⊥DC，AD⊥DC．又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD．∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．12．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一
