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《2020版高考数学第七章立体几何第43讲空间向量及其运算课时达标理新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第43讲空间向量及其运算课时达标 一、选择题1.(2019·大冶一中月考)对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,且有=x+y+z(x,y,z∈R),则x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件B 解析当x=2,y=-3,z=2时,即=2-3+2,则-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根据共面向量定理,知P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理=m+n,即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+n,即x=1-
2、m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故是充分不必要条件.故选B.2.(2019·通州期末)已知两个非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是( )A.=B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1·b1+a2·b2+a3·b3=0D.存在非零实数k,使a=kbD 解析应选D,首先排除B,C项表示a⊥b,A项表示a,b的单位向量相等,但两向量方向相反也叫平行.3.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x=( )A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0
3、,6,-6)D.(6,6,-6)B 解析因为b=x-2a,所以x=4a+2b即x=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20)4.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=( )A.9B.-9C.-3D.3B 解析由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以解得λ=-9.5.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确C 解析由n1
4、=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),因为n1和n2不平行,所以α与β不平行;又因为n1·n2=-6-3-20=-29≠0,所以α与β不垂直.6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两夹角均为60°,且
5、
6、=1,
7、
8、=2,
9、
10、=3,则
11、
12、=( )A.5B.6C.4D.8A 解析由题可得,=++,故2=2+2+2+2(·+·+·)=1+4+9+2(1×2+1×3+2×3)cos60°=25,故
13、
14、=5.二、填空题7.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为________.解析依题意
15、知,垂足Q为点P在平面yOz上的投影,则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等,横坐标为0.答案(0,,)8.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________.解析由题意知=+=+=(+)+=++.答案++9.(2019·晋江模拟)设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为________.解析如图所示,取BC的中点E,连接AE.==(+)=+=+(+)=+(-+-)=(++),所以x=y=z=.答案(,,)三、解答题10.如
16、图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1F⊥C1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.解析(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),所以·=-ax+a(x-a)+a2=0,所以⊥,所以A1F⊥C1E.(3)证明:因为A1,E,F,C1四点共面,所以,,共面.选与为一组
17、基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),所以解得λ1=,λ2=1.于是=+.11.(2019·安庆模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若
18、c
19、=3,且c∥,求c;(2)求a和b的夹角的余弦值;(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值;(4)若λ(a+b)+μ(a-b)与z轴垂直,求λ,μ应满足的关系.证明(1)因为c∥,所以c=m=m(-2,-1,2)=(-2
20、m,-m,2m).所以
21、c
22、==3
23、m
24、=3.即m=±1.所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)因为a=(1,1,0)