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时间:2018-12-16
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1、多体系统动力学下册R.L.休斯敦 刘又午 著天津大学出版社140目录140第六章惯量概念6.1前言为了导出惯性力表达式,必先具备有关物体惯性特性的知识。当质点在惯性参考系(或牛顿参考系)中加速时间时,其上作用的外力与加速度成正比。如图6.1,R为惯性参考系,P为质点,F为作用与质点的力,则P中的加速度RaP与F的关系可表示为F=mRaR(6.1.1)根据经典理论,质点的质量只决定于其物理特性,而与其加速度无关。如视物体为质点的集合,则其质量(或惯量)特性即可由质点推出。本章将复习和给定用于多体系统分析的有关物体的惯量特性。6.2一次矩为描述物体的惯量特性,一次矩
2、和二次矩是两个有用的矢量。质点的一次矩定义如下:见图6.2.1,令P为质点,m为其质量,p为给定P对参考点O的位置矢量。则P对O的一次矩LP/O为LP/O=mp(6.2.1)一次矩的大小与质点的质量及其至参考点O的距离成正比。140其次,考察如图6.2.2所示N个质点Pi(i=1,…,N)组成的质点系S。S对参考点O的一次矩可定义为各质点对O点一次矩之和。即(6.2.2)式中mi为S中任意质点Pi的质量。6.3质心质点系S的质心定义为质系S对其一次矩为零的那个参考点G。即如G为S的质心,则LS/G=0(6.3.1)见图6.3.1,令S为质点系,O为任意参考系,G
3、为质心;pG为G对O的位置矢量,ri为Pi对G的位置矢量,则有pi=PG+ri(6.3.2)而由式(6.3.1),如G为S的质心,则(6.3.3)式(6.3.2)代入(6.3.3)可有(6.3.4)因pG不含下标i,与和式无关,故可提至和式之外,如最后的等式。和式140即是S的总质量。故由式(6.3.4)可得(6.3.5)式中M为S的总质量。因刚体可视为一个质点系,故可用式(6.3.5)求得刚体的质心。而作为连续体,组成刚体的质点数目应该很大。故应令式(6.3.5)中N无限的增大,最终可以物体占有区域的体积分取代其中和式。如B为刚体,其质心为G,则G对任意参考点
4、O的位置矢量可表示为(6.3.6)如V内质量均匀分布(即ρ为常数),则式(6.3.6)简化为(6.3.7)式中V为B占有空间的体积。故对匀质物体,质心位置仅决定于物体形状。对常见物体(或图形),pG已由式(6.3.7)确定。有关结果在很多力学教科书和手册中皆可查到(参见[6.1-6.6])。本章末附录中列出了常见形状物体的质心位置。6.4在多体系统中的应用再考察式(6.3.5)(6.4.1)式中S为n个质点组成的任意系统。可由此式导出确定多体系统质心的算法。设多体系统S包含N个物体Bk(k=1,…,N),如图6.4.1。对任意典型物体Bk,它的质心至参考点O的相
5、对位置可用式(6.4.1)确定。140即(6.4.2)式中为Bk质量。此式可改写为(6.4.3)式中为组成的质点数,上面最后一个等式系由式(6.2.2)和一次矩定义得来。注意到式(6.4.1)中的和式由有限项组成,故可根据各独立物体,将它分为若干和式。即可将和表示为(6.4.4)和(6.4.5)比较式(6.4.3)(6.4.4)。可以判定式(6.4.4)中各独立和式即是各独立物体的一次矩。即整个系统的一次矩可表示为(6.4.6)同理,由式(6.4.5)。S的总质量M可表示为各独立物体质量之和,即140(6.4.7)再比较式(6.4.3)(6.4.4)可知(6.4
6、.8)解pG可得(6.4.9)式(6.4.9)给出确定多体系统质心所需的算式。考察图6.4.2所示系统,说明其具体应用。此系统由一个立方体、一个圆柱体、四个杆和一个球,共七个物体组成。令立方体每边长1m。令各杆尺寸相同,皆为直径4cm,长1m。令圆柱体直径为1/3m,长1m。令球的直径为1/3m。令B6与球面相连,且轴线通过球心。除B1有圆柱形空腔外,各物体都是匀质的。空腔贯穿立方体,其直径为1/3m。令立方体、圆柱和球的密度为7.8×103kg/m3(钢),杆的密度为9.8kg/m。令B3和B6与X轴平行,B4和B5与Y-Z平面平行。只需计算式(6.4.9)中
7、的和式,即可确定此系统相对于直角坐标系XYZ原点O的质心位置。为计算和式最好用图6.4.2的单位矢量N1、N2和N3表示各矢量。实际上计算过程不过是简单的乘法和表中各列相加。各体的体积、质量和质心位置列如表6.4.1。第3列相加为总质量。乘积见第7、8和9列。称空腔为B0140;其质量应冠以负号。参见本章末附表,可得第4、5和6列各值。由表6.4.1可知系统总质量为7990.32kg。且和式可写为kgm(6.4.10)为140(6.4.11)表6.4.1及各和式易于表达为计算机算法。首先输入第1、2和3列数据。其次,引用较低序体连接阵列(见4.2节)。本例无分支
8、,阵列很简单L0(K)=
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